Phương pháp giải:

+) Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(m\) . Tìm điều kiện để phương trình ẩn \(m\) nghiệm đúng với mọi \(x;y;z\). Suy ra phương trình đường thẳng \(\Delta \).

+) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm M đến một đường thẳng d:

\(d\left( {M;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {M{M_0}} ;{{\overrightarrow u }_d}} \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\,\,\,\left( {{M_0} \in d} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( P \right):\,\,\left( {{m^2} + m + 1} \right)x + 2\left( {{m^2} - 1} \right)y + 2\left( {m + 2} \right)z + {m^2} + m + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 2y + 2z + 1} \right){m^2} + \left( {x + 2z + 1} \right)m + x - 2y + 4z + 1 = 0\)

Phương trình nghiệm đung với mọi \(m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y + 1 = 0\\x + 2z + 1 = 0\\x - 2y + 4z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2t\\y = t\\z = t\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( P \right)\) luôn chứa đường thẳng cố định \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2t\\y = t\\z = t\end{array} \right.\).

\({\overrightarrow u _\Delta } = \left( { - 2;1;1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), \(M\left( { - 1;0;0} \right) \in \Delta \).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {0;1; - 1} \right)\)

Khi đó ta có \(d\left( {O;\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 6 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Chọn D.