Phương pháp giải:

Do A, B cố định nên, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB là nhỏ nhất.

Mà M thuộc d nên khoảng cách \(d{(M;AB)_{\min }} = d(d;AB) = \) Độ dài đoạn vuông góc chung của d và AB.

Lời giải chi tiết:

\(A(0; - 1;2),\,\,B(1;1;2) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \left( {1;2;0} \right) \Rightarrow AB:\left\{ \begin{array}{l}x = {t_1}\\y = - 1 + 2{t_1}\\z = 2\end{array} \right.\)

\(\left( d \right):\,\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1} \Leftrightarrow \left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)

Mà M thuộc d nên khoảng cách \(d{(M;AB)_{\min }} = d(d;AB) = \) Độ dài đoạn vuông góc chung của d và AB.

Gọi HK là đoạn vuông góc chung của AB và d \(\left( {H \in d,\,\,K \in AB} \right)\)

Vì \(H \in d,\,\,K \in AB\) nên, giả sử \(H\left( { - 1 + t;\,\,\,t\,\,;1 + t} \right),\,K\left( {{t_1}; - 1 + 2{t_1};2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {HK} = \left( {{t_1} - t + 1;2{t_1} - t - 1;1 - t} \right)\)

HK là đoạn vuông góc chung của AB và d\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {HK} \bot \overrightarrow {{u_{AB}}} \\\overrightarrow {HK} \bot \overrightarrow {{u_d}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{t_1} - t + 1} \right).1 + \left( {2{t_1} - t - 1} \right).2 + \left( {1 - t} \right)0 = 0\\\left( {{t_1} - t + 1} \right).1 + \left( {2{t_1} - t - 1} \right).1 + \left( {1 - t} \right).1 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_1} - 3t = 1\\3{t_1} - 3t = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\t = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{1}{3};\frac{4}{3};\frac{7}{3}} \right)\)

Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất khi M(a;b;c) trùng\(H\left( {\frac{1}{3};\frac{4}{3};\frac{7}{3}} \right)\).

\( \Rightarrow a = \frac{1}{3},\,b = \frac{4}{3},\,c = \frac{7}{3} \Rightarrow T = \frac{1}{3} + 2.\frac{4}{3} + 3.\frac{7}{3} = 10\)

Chọn: A