Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\) và các biến đổi lượng giác: \( - \sin x = \sin \left( { - x} \right)\), \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = \cos x \Rightarrow f'\left( x \right) = - \sin x\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\\f'\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = - \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,2f'\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)f'\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + f\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\\
= - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\\
= - \sin \left( {2x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\\
= - \cos \left( { - 2x - \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\\
= - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\
f'\left( 0 \right) = - \sin 0 = 0.
\end{array}\)

Vậy \(2f'\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)f'\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + f\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = f'\left( 0 \right)\,\,\,\forall x.\)