Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \cos x\), tìm khoảng giá trị của \(t\) ứng với \(x \in \left( {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

- Đưa hàm số về hàm số ẩn \(t\). Tìm điều kiện để hàm số dạng \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\), khi đó \(y' > 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và xác định trên \(\left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \cos x\), do hàm số \(\cos x\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên với \(\dfrac{\pi }{6} < x < \dfrac{\pi }{2}\) thì \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} > t > 0\).

Khi đó bài toán trở thành tìm số nguyên \(m \in \left[ { - 1;2020} \right]\) để hàm số \(y = \dfrac{{mt + 1}}{{t + 2m}}\) đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số xác định trên \(\left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) và \(y' > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2{m^2} - 1}}{{{{\left( {t + 2m} \right)}^2}}} > 0\\ - 2m \notin \left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\m < - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l} - 2m \le 0\\ - 2m \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\m < - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\m < - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 1;2020} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 1;1;2;...;2020} \right\}\). Vậy có 2021 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.