Phương pháp giải:

Gọi phương trình elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Khi đó độ dài trục nhỏ là: \(2b.\)

Từ độ dài trục nhỏ, tìm ra \(b\), sau đó thay tọa độ điểm \(N\) vào phương trình để tìm \(a.\) 

Lời giải chi tiết:

Gọi elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \({a^2} - {b^2} = {c^2},\,\,\,a > b > 0.\)

Độ dài trục nhỏ là \(4 \Rightarrow 2b = 4 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow \left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1.\)

Elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(N\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \frac{{\frac{9}{2}}}{{{a^2}}} + \frac{2}{{{2^2}}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{9}{{2{a^2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {a^2} = 9\\ \Rightarrow a = 3\,\,\,\left( {do\,\,\,a > 0} \right).\end{array}\)

Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

Chọn D.