Câu hỏi:
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1.\) Xét các điểm \(A\left( {a;b} \right)\) và \(B\) thuộc elip sao cho tam giác \(OAB\) cân cân tại \(O\) và có diện tích đạt giá trị lớn nhất. Tính tích \(ab\) biết \(a;b\) là hai số dương và điểm \(B\) có hoành độ dương.
- A \(ab = \frac{1}{2}\)
- B \(ab = 3\)
- C \(ab = 1\)
- D \(ab = \frac{1}{3}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
Lời giải chi tiết:
Vì \(a,b > 0\) nên điểm \(A\) nằm ở góc phần tư thứ nhất.
Tam giác OAB cân và điểm B có hoành độ dương nên điểm B đối xứng với điểm A qua trục hoành, hay \(B\left( {a; - b} \right).\)
Diện tích tam giác OAB là: \(\frac{1}{2}.a.2b = ab.\)
Vì A thuộc elip nên: \(\frac{{{a^2}}}{4} + {b^2} = 1.\)
Theo Cauchy ta có: \(\frac{{{a^2}}}{4} + {b^2} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4}.{b^2}} = ab \Rightarrow ab \le 1.\)
Vậy diện tích tam giác OAB lớn nhất là \(1\) khi \(a = \sqrt 2 ,b = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy khi đó \(ab = 1.\)
Chọn C.
Câu hỏi trước