Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ\(\sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} = t,\,\,\left( {x \in \left[ { - 3;6} \right]} \right)\), đưa hàm số về biến \(t\).

- Cô lập \(m\), khảo sát hàm số \(f\left( t \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} = t,\,\,\left( {x \in \left[ { - 3;6} \right]} \right)\). Xét \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} ,\,\,\left( {x \in \left[ { - 3;6} \right]} \right)\) có:

\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {6 - x} }},\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} = \sqrt {6 - x} \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\)

Mà \(f\left( { - 3} \right) = f\left( 6 \right) = 3,\,\,f\left( {\dfrac{3}{2}} \right) = 3\sqrt 2 \)\( \Rightarrow f\left( x \right) \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right],\forall x \in \left[ { - 3;6} \right]\)

Ta có: \({t^2} = 9 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \)\( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} = \dfrac{{{t^2} - 9}}{2}\)

Phương trình đã cho trở thành: \(t - \dfrac{{{t^2} - 9}}{2} = m,\,\,\left( {t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right]} \right)\)\( \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}{t^2} + t + \dfrac{9}{2}\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = - \dfrac{1}{2}{t^2} + t + \dfrac{9}{2},t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right]\) có: \(g'\left( t \right) = - t + 1 < 0,\forall t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right]\)

Mà \(g\left( 3 \right) = 3,\,\,g\left( {3\sqrt 2 } \right) = - \dfrac{9}{2} + 3\sqrt 2 \)\( \Rightarrow g\left( t \right) \in \left[ { - \dfrac{9}{2} + 3\sqrt 2 ;3} \right],\forall t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right]\)

Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow m \in \left[ { - \dfrac{9}{2} + 3\sqrt 2 ;3} \right]\)

Mà m là số nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\): 4 giá trị.

Chọn B.