Phương pháp giải:

Sử dụng tính đơn điệu để đánh giá.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3125\left( {5\cos x + 5 + m} \right) = {\left( {{{\left( {\cos x + 1} \right)}^5} - m} \right)^5} \Leftrightarrow 5\left( {\cos x + 1} \right) + m = {\left( {\dfrac{{{{\left( {\cos x + 1} \right)}^5} - m}}{5}} \right)^5}\)

Đặt \(\dfrac{{{{\left( {\cos x + 1} \right)}^5} - m}}{5} = y\), ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}5\left( {\cos x + 1} \right) + m = {y^5}\\5y + m = {\left( {\cos x + 1} \right)^5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = {\left( {\cos x + 1} \right)^5} - 5y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\5\left( {\cos x + 1} \right) - 5y = {y^5} - {\left( {\cos x + 1} \right)^5}\,\,(2)\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {\cos x + 1} \right)^5} + 5\left( {\cos x + 1} \right) = {y^5} + 5y\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^5} + 5t,\,\,f'\left( t \right) = 5{t^4} + 5 > 0,\forall t \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Khi đó:

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \cos x + 1 = y\) hay \(y = \cos x + 1\). Thay vào (1): \(m = {\left( {\cos x + 1} \right)^5} - 5\left( {\cos x + 1} \right)\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^5} - 5t,\,\left( {t \in \left[ {0;2} \right]} \right),\,\,\,g\left( t \right) = 5{t^4} - 5\), \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

\(g\left( 0 \right) = 0,\,g\left( 1 \right) = - 4,\,\,g\left( 2 \right) = 22 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( t \right) = - 4,\,\,\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( t \right) = 22\)

Để phương trình đã cho có nghiệm thì \(m \in \left[ { - 4;22} \right]\), mà \(m \in {\mathbb{Z}^ - } \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\): \(4\) giá trị.

Chọn: C.