Phương pháp giải:

- Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\). Tính đạo hàm của hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\).

- Giải bất phương trình \(g'\left( x \right) > 0\), dựa vào các đáp án tìm khoảng đồng biến của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\)ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {2x + 2} \right)f'\left( {{x^2} + 2x} \right)\).

Xét \(g'\left( x \right) > 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2 > 0\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l} - 1 < {x^2} + 2x < 1\\{x^2} + 2x > 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 1 < 0\\{x^2} + 2x + 1 > 0\end{array} \right.\\{x^2} + 2x - 3 > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}x \in \left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 + \sqrt 2 } \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\\x > 1\\x < - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 1; - 1 + \sqrt 2 } \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2 < 0\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 1\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x < - 1\\1 < {x^2} + 2x < 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 1\\{x^2} + 2x - 1 > 0\\{x^2} + 2x - 3 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 1\\x \in \left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 2 } \right) \cup \left\{ { - 1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right\}\\x \in \left( { - 3;1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 3; - 1 - \sqrt 2 } \right)\).

Kết hợp 2 TH ta có: \(x \in \left( { - 3; - 1 - \sqrt 2 } \right) \cup \left( { - 1; - 1 + \sqrt 2 } \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\).

Chọn A.