Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số.

- Xét các đáp án, xác định xem trên khoảng đó đạo hàm của hàm số có luôn dương hay không?

Lời giải chi tiết:

Đặt \(g\left( x \right) = 6f\left( {x - 2} \right) - 2{x^3} + 6x\) ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( {x - 2} \right) - 6{x^2} + 6\).

Đặt \(h\left( x \right) = - 6{x^2} + 6\) suy ra \(g'\left( x \right) = 6f'\left( {x - 2} \right) + h\left( x \right)\).

Xét \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) ta có: \(x - 2 \in \left( { - 3; - 1} \right) \Rightarrow f'\left( {x - 2} \right) > 0\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = - 6{x^2} + 6\) có \(h'\left( x \right) = - 12x = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy \(h\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).

Do đó \(g'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).

Vậy hàm số \(y = 6f\left( {x - 2} \right) - 2{x^3} + 6x\) đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

Chọn A.