Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = f\left( x \right) = \left| {{x^2} - 5x + 4} \right| + mx = \left[ \begin{array}{l}{x^2} + \left( {m - 5} \right)x + 4\,\,khi\,\,x \ge 4\,\,hoac\,\,x \le 1\\ - {x^2} + \left( {m + 5} \right)x - 4\,\,khi\,\,1 < x < 4\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(y = {x^2} + \left( {m - 5} \right)x + 4\) với \(x \ge 4\) hoặc \(x \le 1\).

Đồ thị hàm số có hình dạng là parabol có bề lõm hướng lên, hoành độ đỉnh là \(x = \dfrac{{m + 5}}{2}\).

TH1: \(\dfrac{{5 - m}}{2} \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{5 - m}}{2} \le 1\\\dfrac{{5 - m}}{2} \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 - m \le 2\\5 - m \ge 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \le - 3\end{array} \right.\)

Khi đó \(\min y = y\left( {\dfrac{{5 - m}}{2}} \right) = - \dfrac{{{{\left( {5 - m} \right)}^2}}}{4} + 4\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \dfrac{{{{\left( {5 - m} \right)}^2}}}{4} + 4 \ge 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {5 - m} \right)}^2}}}{4} \le 3\\ \Leftrightarrow {\left( {5 - m} \right)^2} \le 12 \Leftrightarrow - 2\sqrt 3 \le 5 - m \le 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow 5 - 2\sqrt 2 \le m \le 5 + 2\sqrt 3 \end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;6;7;8} \right\}\).

TH2: \(\dfrac{{5 - m}}{2} \notin \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow - 3 < m < 3\).

Khi đó \(\min y = \min \left\{ {y\left( 1 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = \min \left\{ {m;4m} \right\}\).

Với \(m < 4m \Leftrightarrow m > 0\), suy ra \(\min y = m > 1\).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow m \in \left( {1;3} \right)\). Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 2\).

Với \(m > 4m \Rightarrow m < 0\), suy ra \(\min y = 4m > 1 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{4}\) (Mâu thuẫn với \(m < 0\)).

Vậy \(m \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).

Xét hàm số \(y = - {x^2} + \left( {m + 5} \right)x - 4\) với \(x \in \left( {1;4} \right)\).

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {1;4} \right)\).

Vậy có 7 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.