Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = \frac{{x - 3}}{{2x - 1}}.\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}.\)

\(y' = \frac{{ - 1 + 3.2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{5}{{\left( {2x - 1} \right)}} > 0\,\,\,\forall x \in D.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\)

Chọn A.