Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2019\) trên \(\mathbb{R}\) ta có: \(y' = {x^2} - 2x + m - 1.\)

Hàm số đã cho đồng biến trên TXĐ\( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 \ge - m\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - 2 \ge - m\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ge - m + 2.\\ \Rightarrow - m + 2 \le \mathop {Min}\limits_\mathbb{R} \,\,{\left( {x - 1} \right)^2} \Leftrightarrow - m + 2 \le 0 \Leftrightarrow m \ge 2.\end{array}\)

Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.

Chọn A.