Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {4 - {x^2}} \right)g\left( x \right) + 2019\) với \(g\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + 2019x + 2020\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
- A \(\left( { - \infty ;3} \right)\)
- B \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
- C \(\left( {3; + \infty } \right)\)
- D \(\left( { - 1;3} \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng đạo hàm hàm hợp tinh \(y'\) và xét dấu \(y'\), từ đó suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' = - f'\left( {1 - x} \right) + 2019 = - \left[ {\left( {4 - {{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right)g\left( {1 - x} \right) + 2019} \right] + 2019\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = - \left( {4 - 1 + 2x - {x^2}} \right)g\left( {1 - x} \right)\\\,\,\,\,\,\,y' = \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)g\left( {1 - x} \right)\,\,\left( {g\left( {1 - x} \right) < 0\,\,\forall x} \right)\end{array}\)
Ta có bảng xét dấu \(y'\) như sau:
Dựa vào BXD ta thấy hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;3} \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Chọn C.
Câu hỏi trước