Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) khi và chỉ khi hàm số xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) (Dấu "=" chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm).

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên xác định và liên tục trên \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Ta có: \(y' = 6{x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x + 12m\).

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi: \(y' > 0\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right).\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6{x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x + 12m \ge 0\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 2m \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x \ge mx - 2m\,\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m\left( {x - 2} \right) \le {x^2} - 2x\,\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = x\,\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\,\,\left( {Do\,\,x - 2 > 0\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)} \right)\\ \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {3; + \infty } \right)} x = 3.\end{array}\)

Vậy \(m \le 3\) thì hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Chọn A.