Cho dãy số được xác định bởi: \({u_1} = 1;{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right),n \in \mathbb{N}*\). Tính \({u_{2020}}\).
Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của dãy số.
Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right) = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{3}{{n + 2}} - \frac{2}{{n + 1}}} \right) = \frac{2}{3}{u_n} + \frac{1}{{n + 2}} - \frac{2}{3}.\frac{1}{{n + 1}}\)
\( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{2}{3}\left( {{u_n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)\) (1)
Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{1}{{n + 1}}\), từ (1) suy ra \({v_{n + 1}} = \frac{2}{3}{v_n}\)
Do đó, \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với \({v_1} = {u_1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\), công bội \(q = \frac{2}{3}\)
Suy ra: \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {u_n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {u_n} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} + \frac{1}{{n + 1}}\)
Vậy \({u_{2020}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2019}} + \frac{1}{{2021}} = \frac{{{2^{2018}}}}{{{3^{2019}}}} + \frac{1}{{2021}}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\,\;khi\;x > 1\\mx + 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \le 1\;\end{array} \right.\). Tìm m để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Cho tứ giác ABCD có \(AB = CD\). Gọi M là trung điểm của BC. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì?
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\cos ^2}x + 5\sin x + 1\) trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\).
Xét góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right) = \alpha \), trong đó M là điểm không nằm trên các trục tọa độ Ox và Oy. Khi đó, M thuộc góc phần tư nào để \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) trái dấu?
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm các số nguyên dương chia hết cho 5. Số nào dưới đây thuộc dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - 6} \right)\)