Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\cos ^2}x + 5\sin x + 1\) trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\).
Sử dụng kiến thức công thức: \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\)
Ta có: \(y = 2{\cos ^2}x + 5\sin x + 1 = 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5\sin x + 1 = - 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 3\) (1)
Đặt \(\sin x = t\). Vì \(x \in \left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) nên \(t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).
Thay \(\sin x = t\) vào (1) ta có: \(y = - 2{t^2} + 5t + 3\) với \(t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\)
Ta có bảng:
Từ bảng ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) là 6 khi \(t = 1\) hay \(x = \frac{\pi }{2}\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) là 5 khi \(t = \frac{1}{2}\) hay \(x = \frac{{5\pi }}{6}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\,\;khi\;x > 1\\mx + 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \le 1\;\end{array} \right.\). Tìm m để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Cho tứ giác ABCD có \(AB = CD\). Gọi M là trung điểm của BC. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì?
Cho dãy số được xác định bởi: \({u_1} = 1;{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right),n \in \mathbb{N}*\). Tính \({u_{2020}}\).
Xét góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right) = \alpha \), trong đó M là điểm không nằm trên các trục tọa độ Ox và Oy. Khi đó, M thuộc góc phần tư nào để \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) trái dấu?
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm các số nguyên dương chia hết cho 5. Số nào dưới đây thuộc dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - 6} \right)\)