Giải bài 4.32 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 6,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 8\) và \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 10.\)

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\)

b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a + \overrightarrow b .\)

Lời giải chi tiết

Giả sử \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b \) khi đó \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \)

Nhận thấy \(O{A^2} + A{B^2} = {6^2} + {8^2} = 100 = O{B^2}\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta OAB\) là tam giác vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AB} = 0\) hay \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)

a) Ta có: \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a .\overrightarrow b = {\overrightarrow a ^2} = 36.\)

b) Ta có: \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,36 = 6.10.\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \frac{3}{5}\\ \Leftrightarrow \,\,\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \approx {53^ \circ }\end{array}\)