Giải bài 1.27 trang 24 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

a) Sử dụng cách giải phương trình $\sin x = m$ (1)

+ Nếu $\left| m \right| > 1$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu $\left| m \right| \le 1$ thì tồn tại duy nhất số $\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ thỏa mãn $\sin \alpha = m$.

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

$\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

- Nếu góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

$\sin x = \sin {\alpha ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^0} + k{360^0}\\x = {180^0} - \alpha + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: $\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\x = \pi - v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) Sử dụng cách giải phương tình $\cos \,x = m$ (2)

+ Nếu $\left| m \right| > 1$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu $\left| m \right| \le 1$ thì tồn tại duy nhất số $\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ thỏa mãn $\cos \,\alpha = m$.

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

$\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

- Nếu góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

$\cos x = \cos {\alpha ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos = {\alpha ^0} + k{360^0}\\\cos = - \alpha + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: $\cos u = \cos v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\x = - v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

c) Sử dụng cách giải phương trình $\tan \,x = m\left( 3 \right)$

Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Luôn tồn tại duy nhất số $\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ thoả mãn $\tan \alpha = m$

Khi đó, phương trình (3) tương đương với:

$\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

- Nếu góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

$\tan x = \tan {\alpha ^0} \Leftrightarrow x = {\alpha ^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: $\tan u = \tan v \Leftrightarrow u = v + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$