Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D,\,\,AB = 2a\), \(AD = DC = a,\,\,SA = a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tang của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng:
- A \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
- B \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
- C \(\sqrt 3 \)
- D \(\sqrt 2 \)
Phương pháp giải:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc 2 mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\). Dễ dàng chứng minh được \(ADCE\) là hình vuông.
\( \Rightarrow CE = AD = a = \dfrac{1}{2}AB \Rightarrow \Delta ACB\) vuông tại \(C \Rightarrow AC \bot BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot SC\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SC \bot BC\\\left( {ABCD} \right) \supset AC \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\).
\(ADCE\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).
Xét tam giác vuông \(SAC:\,\,\tan \angle SCA = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Chọn A.
Câu hỏi trước