Phương pháp giải:

Đánh giá, tìm vị trí của \(\Delta \)để khoảng cách giữa 2 đường thẳng là lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Kẻ AH vuông góc d, qua A kẻ d’ // d.

Dựng mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc AH, (Q) cắt (P) tại \({{\Delta }_{o}}\). Ta sẽ chứng minh \({{\Delta }_{0}}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài (cách d một khoảng cách lớn nhất).

Vì \(\left\{ \begin{align} AH\bot d \\ AH\bot (Q) \\ \end{align} \right.\Rightarrow d//(Q)\Rightarrow d\left( d;\left( Q \right) \right)=AH=d\left( d;{{\Delta }_{0}} \right),\,\,(do\,\,{{\Delta }_{0}}\subset (Q))\)

Lấy \(\Delta \)là đường thẳng bất kì qua A và nằm trong (P). Gọi \((Q')\)là mặt phẳng chứa d’ và \(\Delta \Rightarrow d//(Q')\)\(\Rightarrow d(d;(Q'))=d(H;(Q'))\)

Kẻ \(HA'\bot (Q'),\,\,A'\in (Q')\Rightarrow d(d;(Q'))=HA'=d(d;\Delta )\).

Ta có: \(HA'\le HA\Rightarrow \) Khoảng cách từ d đến\(\Delta \) lớn nhất bằng AH khi \(\Delta \) trùng \({{\Delta }_{o}}\).

*) Tìm tọa độ điểm H:

Gọi \(\left( \alpha \right)\): mặt phẳng qua A vuông góc d \(\Rightarrow \left( \alpha \right):\,2.(x-1)-1(y-3)+1(z-1)=0\Leftrightarrow 2x-y+z=0\)

\(\begin{array}{l}H = d \cap \left( \alpha \right) \Rightarrow \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1} = \frac{{2x - 2 - y - 1 + z - 3}}{{4 + 1 + 1}} = \frac{{2x - y + z - 6}}{6} = \frac{{0 - 6}}{6} = - 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow H( - 1;0;2)\end{array}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AH}\left( -2;-3;1 \right)\)

 \({{\Delta }_{o}}\) có 1 VTCP : \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{AH};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right],\,\,\)với \(\left( \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(1;1;-4) \right)\)

 \(\Rightarrow \overrightarrow{u}=(11;-7;1)\Rightarrow a=11;\,b=-7\Rightarrow a+2b=-3\)

Chọn: A