Phương pháp giải:

Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng tính chất đường phân giác 

Lời giải chi tiết:

 Ta có \(\left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{ON} \right]=k\left( 1;-\,2;2 \right)\)\(\Rightarrow \) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\vec{u}=\left( 1;-\,2;2 \right).\)

\(\begin{align} & \overrightarrow{OM}=\left( 2;\ 2;\ 1 \right)\Rightarrow OM=3. \\ & \overrightarrow{ON}=\left( -\frac{8}{3};\ \frac{4}{3};\ \frac{8}{3} \right)\Rightarrow ON=4. \\ \end{align}\)

Kẻ phân giác \(OF\,\,\,\left( F\in MN \right)\)ta có: \(\frac{OM}{ON}=\frac{MF}{NF}=\frac{3}{4}\Rightarrow \overrightarrow{MF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{FN}\Rightarrow F\left( 0;\frac{12}{7};\frac{12}{7} \right).\)

Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta \,OMN\)\(\Rightarrow \,\,I\in \left( OF \right)\)\(\Rightarrow \,\,\overrightarrow{OI}=k\,\overrightarrow{OF},\) với \(k>0.\)

Tam giác \(OMN\) vuông tại \(O,\) có bán kính đường tròn nội tiếp \(r=1\,\,\Rightarrow \,\,IO=\sqrt{2}.\)

Mà \(ME=\frac{15}{7};\,\,OM=3;\,\,\cos \widehat{OMN}=\frac{3}{5}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,OF=\frac{12\sqrt{2}}{7}\) suy ra \(\overrightarrow{OF}=\frac{12}{7}\,\,\overrightarrow{OI}\Rightarrow I\left( 0;1;1 \right).\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(\left( \Delta \right):\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-\,2}=\frac{z+1}{2},\) có \(\vec{u}=\left( 1;-\,2;2 \right),\) đi qua \(I\left( 0;1;1 \right).\)

Khoảng cách từ \(E\) đến đường thẳng \(\Delta \) là \(d=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{EI};\vec{u} \right] \right|}{\left| {\vec{u}} \right|}=\frac{2\sqrt{17}}{3}.\)

Chọn A