Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( 3;-\,2;3 \right),\,\,B\left( 1;0;5 \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-\,2}=\frac{z-3}{2}.\) Tìm tọa độ điểm \(M\) trên đường thẳng \(\left( d \right)\) để \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
- A
\(M\left( 2;0;5 \right).\)
- B
\(M\left( 1;2;3 \right).\)
- C
\(M\left( 3;-\,2;7 \right).\)
- D \(M\left( 3;0;4 \right).\)
Phương pháp giải:
Vì điểm M thuộc d nên tham số hóa tọa độ điểm M, tính tổng \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\) đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất
Lời giải chi tiết:
Vì \(M\in \left( d \right)\Rightarrow \,\,M\left( t+1;2-2t;2t+3 \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{align} \overrightarrow{AM}=\left( t-2;4-2t;2t \right) \\ \overrightarrow{BM}=\left( t;2-2t;2t-2 \right) \\ \end{align} \right..\)
Khi đó \(T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4-2t \right)}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}+{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}=18{{t}^{2}}-36t+28.\)
Dễ thấy \(18{{t}^{2}}-36t+28=18\left( {{t}^{2}}-2t+1 \right)+10=18{{\left( t-1 \right)}^{2}}+10\ge 10\)\(\Rightarrow \,\,M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\ge 10.\)
Vậy \({{T}_{\min }}=10.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(t=1\Rightarrow M\left( 2;0;5 \right).\)
Chọn A
Câu hỏi trước