Phương pháp giải:

Dựng hình, đưa về bài toán tìm điểm để khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhỏ nhất

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(B\left( 1;0;1 \right),\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}=\left( 1;-\,2;9 \right)\)\(\Rightarrow \,\,\left[ \overrightarrow{AB};\vec{u} \right]=\left( 9;0;-\,1 \right).\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(d\) và đi qua \(A\) là \(\left( \alpha \right):9x-z-8=0.\)

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\Delta ,\) \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( \alpha \right).\)

Ta có \(d\left( O;\left( \Delta \right) \right)=OI\le OH\Rightarrow \,\,{{d}_{\min }}=OH\)\(\Leftrightarrow \)\(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( \alpha \right).\)

Phương trình đường thẳng \(OH\) là \(\left\{ \begin{align} x=9t \\ y=0 \\ z=-\,t \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \,\,H\left( 9t;0;-\,t \right)\in \left( \alpha \right)\)\(\Rightarrow t=\frac{4}{41}.\)

Vậy \(H\left( \frac{36}{41};0;-\,\frac{4}{41} \right)\Rightarrow \overrightarrow{HA}=\left( \frac{5}{41};1;\frac{45}{41} \right)=\frac{5}{41}\left( 1;\frac{41}{5};9 \right)\Rightarrow \left\{\begin{align} a=\frac{41}{5} \\ b=9 \\ \end{align} \right..\)

\(\Rightarrow a+b=\frac{41}{5}+9=\frac{86}{5}.\)

Chọn A