Phương pháp giải:

- \(d \bot \left( \alpha \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_\alpha }} \).

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,4x + 3y - 7z + 1 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {4;3; - 7} \right)\).

Vì \(d \bot \left( \alpha \right)\) nên đường thẳng \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {4;3; - 7} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {4;3; - 7} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 + 3t\\z = 3 - 7t\end{array} \right.\).

Chọn B.