Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\;\;\left( {x \ne - \dfrac{d}{c}} \right),\) hàm số luôn đồng biến treen \(\left( {a;b} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {a;b} \right)\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{mx - 4}}{{x - m}}\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}.\)

Có \(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - {m^2} + 4}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\\m \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 4 > 0\\m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m \le 0\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;\,\,0} \right\}.\)

Chọn D.