Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\).

- Tính đạo hàm của hàm số, sử dụng công thức tính nhanh: \(\left( {\dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)' = \dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\,\,\left( {ad \ne bc} \right)\).

- Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}y' < 0\\{x_0} \notin \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne - m\).

Ta có: \(y = \dfrac{{mx + 4}}{{x + m}} \Rightarrow y' = \dfrac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}.\)

Để hàm số \(y = \dfrac{{mx + 4}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 < 0\\ - m \notin \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\ - m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\). Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.