Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 6{x^2} + 5 + m} \right|\), sử dụng công thức tính đạo hàm: \(\left( {\left| u \right|} \right)' = \dfrac{u}{{\left| u \right|}}.u'\).

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) khi nó xác định và liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) đồng thời\(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\). (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

- Giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \ge 0,\,\,\,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)\) để tìm giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = g\left( x \right) = \left| {{x^3} - 6{x^2} + 5 + m} \right|\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {3{x^2} - 12x} \right).\left( {{x^3} - 6{x^2} + 5 + m} \right)}}{{\left| {{x^3} - 6{x^2} + 5 + m} \right|}}\end{array}\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {5; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(g'\left( x \right) \ge 0,\,\,\,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)\)

Do \(3{x^2} - 12x = 3x\left( {x - 4} \right) > 0,\,\,\,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) \ge 0,\,\,\,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 5 + m \ge 0,\,\,\,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow - m \le {x^3} - 6{x^2} + 5,\,\,\,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {5; + \infty } \right)} f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 5\end{array}\)

BBT của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 5\) như sau:

Từ BBT ta thấy: \(\mathop {\min }\limits_{\left( {5; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = - 20 \Rightarrow - m \le - 20 \Leftrightarrow m \ge 20\)

Mặt khác \(m \in \mathbb{Z};\,\,\,m \in \left[ { - 2020;2020} \right]\) nên \(m \in \left\{ {20;21;22;23;....;2020} \right\}\)

Vậy có \(2001\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn C.