Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ điểm \(E\) (\(E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua đường phân giác \(BD\))

+) Viết phương trình đường thẳng \(AB\)\( \Rightarrow \) xác định tọa độ điểm \(B\)

+) Từ tọa độ điểm \(M\) và \(B\)\( \Rightarrow \) Xác định tọa độ điểm \(A\).

Lời giải chi tiết:

*) Phương trình đường phân giác \(BD:\,\,x + y - 5 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{BD}} = \left( {1;\,\,1} \right),\,\,{\vec u_{BD}} = \left( { - 1;\,\,1} \right)\)

*) Gọi \(E\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(BD\).

Phương trình đường thẳng \(EH\):

+) Vì \(EH \bot BD\)\( \Rightarrow \) Phương trình \(EH\): \( - x + y + c = 0\)

+) \(H\left( { - 4;\,\,1} \right) \in EH \Rightarrow - \left( { - 4} \right) + 1 + c = 0\)\( \Leftrightarrow 5 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 5\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(EH:\,\, - x + y - 5 = 0\)

*) Gọi \(BD \cap EH = I\). Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 5 = 0\\ - x + y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\ - x + y = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,\,5} \right)\)\( \Rightarrow E\left( {4;\,\,9} \right)\)

*) Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(M\left( {\frac{{17}}{5};\,\,12} \right)\) nhận \({\vec n_{ME}} = \left( {3;\,\,\frac{3}{5}} \right)\) là VTPT là:

\(3.\left( {x - \frac{{17}}{5}} \right) + \frac{3}{5} \cdot \left( {y - 12} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - \frac{{51}}{5} + \frac{{3y}}{5} - \frac{{36}}{5} = 0\)\( \Leftrightarrow 15x + 3y - 87 = 0\)

*) Tọa độ điểm \(B\)là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}15x + 3y - 87 = 0\\x + y - 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {6;\,\, - 1} \right)\)

Mà \(M\left( {\frac{{17}}{5};\,\,12} \right)\) là trung điểm của \(AB\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 2.\frac{{17}}{5} - 6\\{y_A} = 2.12 + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{4}{5}\\{y_A} = 25\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {\frac{4}{5};\,\,25} \right)\)

Vậy \(A\left( {\frac{4}{5};\,\,25} \right)\).

Chọn D.