Phương pháp giải:

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m < g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\), khi đó \(m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

- Lập BBT của hàm số \(y = g\left( x \right)\), xác định giá trị nhỏ nhất của \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \dfrac{{{x^7}}}{{42}} + mx - \dfrac{1}{{12{x^3}}} + 1\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \dfrac{{{x^6}}}{6} + m + \dfrac{1}{{4{x^4}}} > 0\,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^6}}}{6} + \dfrac{1}{{4{x^4}}} > - m\,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array}\)

Đặt\(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^6}}}{6} + \dfrac{1}{{4{x^4}}}\), khi đó \( - m < g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = {x^5} - \dfrac{1}{{{x^5}}} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^{25}} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Bảng biến thiên hàm số \(y = g\left( x \right)\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) = \dfrac{5}{{12}}\).

Vậy \( - m \le \dfrac{5}{{12}} \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{5}{{12}}\).

Chọn D.