Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là nhỏ nhất nếu góc tạo bởi đường thẳng \(AM\) với \(\Delta \) đạt GTNN.

Ở đó, \(M\) là điểm đi qua của \(\Delta \).

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng: \(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) 

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2;5;7 - 2\sqrt 2 } \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {{m^2} - 2m;4 - m;0} \right)\) làm VTCP.

Có \(\overrightarrow {AM} = \left( {1;3;4 - 2\sqrt 2 } \right) \Rightarrow AM = 34 - 16\sqrt 2 \).

Để \(d\left( {A,\Delta } \right) = A{H_{\min }}\) thì \(\sin \alpha = \dfrac{{AH}}{{AM}}\) đạt GTNN hay \(\cos \alpha \) đạt GTLN.

Mà \(\cos \alpha = \cos \left( {AM,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right|}}{{\left( {34 - 16\sqrt 2 } \right).\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} }}\) 

Mà \(\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right| \le \sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right|}}{{\left( {34 - 16\sqrt 2 } \right).\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} }} \le \dfrac{{\sqrt {10} }}{{34 - 16\sqrt 2 }}\) 

\( \Rightarrow \cos \alpha \) đạt GTLN nếu \(\dfrac{{{m^2} - 2m}}{1} = \dfrac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m = 4 - m \Leftrightarrow 3{m^2} - 5m - 4 = 0\)

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt do \(ac < 0\) nên tổng các giá trị của \(m\) là \(\dfrac{5}{3}\) .

Chọn B.