Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 2\) có tâm \(I\left( {4;5;7} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \)

Do tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại A và B vuông góc với nhau nên \(\Delta IAB\) vuông cân tại I, có \(IA = IB = R = \sqrt 2 \)

Gọi E là trung điểm của AB \( \Rightarrow IE = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 1\) \( \Rightarrow \) E di động trên mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm I bán kính \(r = 1\).

Gọi F là trung điểm MN; H, T, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, E, A lên (Oxy)

Ta có: EF là đường trung bình của hình thang ABNM (AM // BN) \( \Rightarrow AM + BN = 2.EF\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng d và (Oxy), \(\sin \varphi = \dfrac{{\left| {2.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 1 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

\( \Rightarrow \sin \widehat {EFT} = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow EF = \dfrac{{ET}}{{\sin \widehat {EFT}}} = \sqrt 6 .ET \Rightarrow AM + BN = 2\sqrt 6 .ET\)

Tổng \(AM + BN\) lớn nhất \( \Leftrightarrow ET\) lớn nhất.

Ta có: \(d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = 7\); \(E{T_{\max }} = r + d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = 1 + 7 = 8\)

\( \Rightarrow {\left( {AM + BN} \right)_{\max }} = 16\sqrt 6 \).

Chọn: A