Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\,\,\,\,\,\left( {m + 3} \right){x^2} - 2mx + 2m - 6 < 0\) vô nghiệm

\(\begin{array}{l}\, \Leftrightarrow \,\left( {m + 3} \right){x^2} - 2mx + 2m - 6 \ge 0\,\,\forall x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 3 > 0\\\Delta ' = {m^2} - \left( {m + 3} \right)\left( {2m - 6} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 3\\ - {m^2} + 18 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 3\\{m^2} \ge 18\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 3\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 3\sqrt 2 \\m \le - 3\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 3\sqrt 2 \end{array}\)

Xét TH: \(m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3 \Rightarrow 6x - 12 < 0 \Leftrightarrow x < 2 \Rightarrow m = - 3\) phương trình có nghiệm

 Vậy với \(m \in \left[ {3\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn D.