Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Đề bài Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng \(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \) \(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\) Lời giải chi tiết
Trước hết, ta chứng minh \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\) Đặt \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC} = \overrightarrow c \) Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DJ} \cr & = - {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + \overrightarrow {AD} + {{\overrightarrow {DC} } \over 2} \cr & = - {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( {{{\overrightarrow c } \over 2}} \right) \cr & = {{ - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c } \over 2} \cr & {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {CD} ^2} + 4{\overrightarrow {IJ} ^2} \cr & = {\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow c ^2} + {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)^2} \cr & = 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c \cr & {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BD} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} \cr & = {\left( {\overrightarrow c - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\left( {\overrightarrow c - \overrightarrow b } \right)^2} + {\overrightarrow a ^2} \cr & = 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c \cr} \) Vậy, ta có: \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\) Tương tự, ta có: \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\) \(= B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} + 4H{K^2}\) \( A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \) \(= A{C^2} + B{D^2} + 4E{F^2} \) Từ đó suy ra: \(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2}\) \(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\) xemloigiai.com
|