Câu 12 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai đường thẳng ∆, ∆₁ cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B, C và A₁, B₁, C₁. Với điểm O bất kì trong không gian, đặt \(\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {A{A_1}} ,\overrightarrow {OJ} = \overrightarrow {B{B_1}} ,\overrightarrow {OK} = \overrightarrow {C{C_1}} \) . Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, ta có:

\(\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {A{A_1}} ,\overrightarrow {OJ} = \overrightarrow {B{B_1}} ,\overrightarrow {OK} = \overrightarrow {C{C_1}} \) .

Do (α), (β), (γ) song song với nhau, hai đường thẳng ∆, ∆₁ cắt chúng lần lượt tại A, B, C và A₁, B₁, C₁ nên theo định lí Ta-lét, ta có:

\(\overrightarrow {BA} = k\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {{B_1}{A_1}} = k\overrightarrow {{B_1}{C_1}} \)

Từ \(\overrightarrow {BA} = k\overrightarrow {BC} \) nên với điểm O, ta có:

\(\overrightarrow {OB} = {{\overrightarrow {OA} - k\overrightarrow {OC} } \over {1 - k}}\)

Tương tự, ta cũng có:

\(\overrightarrow {O{B_1}} = {{\overrightarrow {O{A_1}} - k\overrightarrow {O{C_1}} } \over {1 - k}}\)

Từ đó: \(\overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {O{B_1}} - \overrightarrow {OB} = {{\overrightarrow {A{A_1}} } \over {1 - k}} - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {C{C_1}} \)

hay \(\overrightarrow {OJ} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow {OI} - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {OK} \)

Lấy O trùng với I, ta có \(\overrightarrow {IJ} = - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {IK} \)

Như vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.

xemloigiai.com