Câu 12 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 12 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Đề bài Cho hai đường thẳng ∆, ∆1 cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B, C và A1, B1, C1. Với điểm O bất kì trong không gian, đặt \(\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {A{A_1}} ,\overrightarrow {OJ} = \overrightarrow {B{B_1}} ,\overrightarrow {OK} = \overrightarrow {C{C_1}} \) . Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng. Lời giải chi tiết Theo giả thiết, ta có: \(\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {A{A_1}} ,\overrightarrow {OJ} = \overrightarrow {B{B_1}} ,\overrightarrow {OK} = \overrightarrow {C{C_1}} \) . Do (α), (β), (γ) song song với nhau, hai đường thẳng ∆, ∆1 cắt chúng lần lượt tại A, B, C và A1, B1, C1 nên theo định lí Ta-lét, ta có: \(\overrightarrow {BA} = k\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {{B_1}{A_1}} = k\overrightarrow {{B_1}{C_1}} \) Từ \(\overrightarrow {BA} = k\overrightarrow {BC} \) nên với điểm O, ta có: \(\overrightarrow {OB} = {{\overrightarrow {OA} - k\overrightarrow {OC} } \over {1 - k}}\) Tương tự, ta cũng có: \(\overrightarrow {O{B_1}} = {{\overrightarrow {O{A_1}} - k\overrightarrow {O{C_1}} } \over {1 - k}}\) Từ đó: \(\overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {O{B_1}} - \overrightarrow {OB} = {{\overrightarrow {A{A_1}} } \over {1 - k}} - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {C{C_1}} \) hay \(\overrightarrow {OJ} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow {OI} - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {OK} \) Lấy O trùng với I, ta có \(\overrightarrow {IJ} = - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {IK} \) Như vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng. xemloigiai.com
|