Trắc nghiệm Tổng hợp câu hay và khó chương 2 Toán 9Làm bài tậpCâu hỏi 1 : Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 2\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = \left( {2{m^2} - m} \right)x + {m^2} + m\). Câu 1.1 Tìm \(m\) để \(({d_1})//({d_2})\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : Hai đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b;\,\left( {d'} \right):y = a'x + b'\) song song với nhau khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết : Đường thẳng \(({d_1})//({d_2})\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - m = 1\\{m^2} + m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0\\\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\). Vậy với \(m = - \dfrac{1}{2}\) thì \(({d_1})//({d_2})\). Câu 1.2 Gọi \(A\) là điểm thuộc đường thẳng \(({d_1})\) có hoành độ \(x = 2\). Viết phương trình đường thẳng \(({d_3})\) đi qua \(A\) vuông góc với \(({d_1})\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : + Tìm điểm A. + Sử dụng Hai đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b;\,\left( {d'} \right):y = a'x + b'\) vuông góc với nhau khi \(a.a' = - 1\) Lời giải chi tiết : Vì \(A\) là điểm thuộc đường thẳng \(({d_1})\) có hoành độ \(x = 2\) suy ra tung độ điểm \(A\) là \(y = 2 + 2 = 4 \Rightarrow A\left( {2;4} \right)\) . Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) có hệ số góc là \(a = 1\), đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) có hệ số góc là \(a' \Rightarrow a'.1 = - 1 \Rightarrow a' = - 1\) . Đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) có dạng \(y = - x + b\). Vì \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua \(A\left( {2;4} \right)\) suy ra \(4 = - 2 + b \Rightarrow b = 6\). Vậy đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) là \(y = - x + 6\). Câu 1.3 Khi \(({d_1})//({d_2})\). Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(({d_1}),\left( {{d_2}} \right)\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Phương pháp giải : Khi \(({d_1})//({d_2})\) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) sao cho \(AB \bot ({d_1}),AB \bot \left( {{d_2}} \right)\). Sử dụng \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \) Lời giải chi tiết : Đường thẳng \(({d_1})//({d_2})\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - m = 1\\{m^2} + m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0\\\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\). Vậy với \(m = - \dfrac{1}{2}\) thì \(({d_1})//({d_2})\). Khi đó \(\left( {{d_2}} \right):y = x -\dfrac{1}{4}\) Lại có theo câu trước đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) là \(y = - x + 6\). Khi \(({d_1})//({d_2})\) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) sao cho \(AB \bot ({d_1}),AB \bot \left( {{d_2}} \right)\). Hình vẽ: Gọi \(B\) là giao điểm của đường thẳng \(({d_3})\) và \(({d_2})\). Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) là: \( - x + 6 = x - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{{25}}{8} \Rightarrow y = \dfrac{{23}}{8} \Rightarrow B\left( {\dfrac{{25}}{8};\dfrac{{23}}{8}} \right)\). Vậy độ dài đoạn thẳng \(AB\) là: \(AB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{25}}{8} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{23}}{8} - 4} \right)}^2}} = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{8}\). Câu 1.4 Tính diện tích tam giác \(OMN\) với \(M,N\) lần lượt là giao điểm của \(({d_1})\) với các trục tọa độ \(Ox,Oy\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : + Tìm tọa độ M, N. Tính độ dài \(OM;ON\) sau đó tính diện tích tam giác \(OMN.\) Lời giải chi tiết : Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) với các trục tọa độ \(Ox,Oy\). Ta có: Cho \(y = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow M\left( { - 2;0} \right)\), cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow N\left( { 0;2} \right)\). Từ đó suy ra \(OM = ON = 2\). Tam giác $OMN$ vuông cân tại \(O\) nên \({S_{OMN}} = \dfrac{1}{2}OM.ON = 2\) (đvdt). Câu hỏi 2 : Cho đường thẳng \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0\) \((d)\). Câu 2.1 Tìm điểm cố định \(I\) mà đường thẳng \((d)\) luôn đi qua.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Đưa về phương trình bậc nhất ẩn \(m\) là \(am + b = 0\) đúng với mọi \(m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết : Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \((d)\) luôn đi qua với mọi \(m\) khi đó ta có: \(m{x_0} + \left( {2 - 3m} \right){y_0} + m - 1 = 0\,\forall m\)\( \Leftrightarrow m\left( {{x_0} - 3{y_0} + 1} \right) + 2{y_0} - 1 = 0\,\forall m\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3{y_0} + 1 = 0\\2{y_0} - 1 = 0\end{array} \right.\). Hay\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{1}{2}\\{y_0} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\). Câu 2.2 Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \((d)\) là lớn nhất.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \((d)\). Ta có: \(OH \le OI\) suy ra \(OH\) lớn nhất bằng \(OI\) khi và chỉ khi \(H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)\).
Lời giải chi tiết : Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \((d)\). Ta có: \(OH \le OI\) suy ra \(OH\) lớn nhất bằng \(OI\) khi và chỉ khi \(H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)\). Đường thẳng qua \(O\) có phương trình: \(y = ax\) do \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \in OI \Rightarrow \dfrac{1}{2} = a.\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow OI:y = x\). Đường thẳng \((d)\) được viết lại như sau: \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - 3m} \right)y = - mx + 1 - m\). + Nếu \(m = \dfrac{2}{3}\) thì đường thẳng \((d):x - \dfrac{1}{2} = 0\) song song với trục \(Oy\) nên khoảng cách từ \(O\) đến \((d)\) là \(\dfrac{1}{2}\). + Nếu \(m \ne \dfrac{2}{3}\) đường thẳng \((d)\) có thể viết lại: \(y = \dfrac{m}{{3m - 2}}x + \dfrac{{m - 1}}{{3m - 2}}\). Điều kiện để \((d) \bot OI\) là \(\dfrac{m}{{3m - 2}}.1 = - 1 \Leftrightarrow m = 2 - 3m \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\). Khi đó khoảng cách \(OI = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\). Nhận thấy $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}>\dfrac{{1}}{2}$ nên khoảng cách lớn nhất cần tìm là $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ khi \(m = \dfrac{1}{2}\). Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm. Câu hỏi 3 : Xác định các hệ số \(a,b\) của hàm số \(y = ax + b\) để: Câu 3.1 Đồ thị của nó đi qua hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {2;4} \right)\)
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : Thay tọa độ các điểm \(A,B\) vào phương trình của đường thẳng rồi biến đổi và tính toán. Lời giải chi tiết : Thay tọa độ các điểm \(A,B\) vào phương trình của đường thẳng ta được: $\left\{ \begin{array}{l}3 = a + b\,\,\left( 1 \right)\\4 = 2a + b\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$. Từ \(\left( 1 \right)\) ta có \(b = 3 - a\) . Thay \(b = 3 - a\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được \(4 = 2a + 3 - a \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = 2\) . Vậy \(a = 1,b = 2\). Câu 3.2 Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 4\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : + Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành + Thay tọa độ các điểm vừa tìm được vào hàm số để tìm \(a,b.\) Lời giải chi tiết : Vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 4\) nên điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số, đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(2\) nên điểm \(B\left( {2;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số. Thay tọa độ điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\) vào hàm số \(y = ax + b\) ta được \( - 4 = 0.a + b \Leftrightarrow b = - 4\) \( \Rightarrow y = a.x - 4\) Thay tọa độ điểm \(B\left( {2;0} \right)\) vào hàm số \(y = a.x - 4\) ta được \(0 = a.2 - 4 \Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2.\) Vậy \(a = 2;b = - 4.\) Câu hỏi 4 : Cho $2$ đường thẳng $d:y = x + 3;d':y = \dfrac{{ - 2}}{3}x + \dfrac{4}{3}$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ . $A$ và $C$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục hoành; $B$ và $D$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục tung. Khi đó diện tích tam giác $CMB$ là:
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : - Lập bảng giá trị để xác định 2 điểm thuộc đường thẳng. - Xác định giao điểm 2 đường thẳng đã cho - Tính độ dài các đoạn thẳng cần thiết - Dựng đường cao của tam giác được tạo thành - Tính diện tích các tam giác phụ được tạo thành - Tính diện tích tam giác theo yêu cầu đề bài Lời giải chi tiết : Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x + 3 = - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow 3x + 9 = - 2x + 4 \Leftrightarrow 5x = - 5 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 2$ Do đó giao điểm của $2$ đường thẳng đã cho là $M\left( { - 1;2} \right)$ $\begin{array}{l}d \cap Ox = A( - 3;0) \Rightarrow OA = 3\\d' \cap Ox = C(2;0) \Rightarrow OC = 2\\d \cap Oy = B(0;3) \Rightarrow OB = 3\\d' \cap Oy = D\left( {0;\dfrac{4}{3}} \right)\\ \Rightarrow AC = OA + OC = 3 + 2 = 5\\{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.OB = \dfrac{1}{2}.5.3 = \dfrac{{15}}{2}(dvdt)\end{array}$ Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $Ox$ $\begin{array}{l} \Rightarrow MH = |{y_M}| = 2\\{S_{\Delta AMC}} = \dfrac{1}{2}MH.AC = \dfrac{1}{2}.2.5 = 5(dvdt)\\{S_{\Delta BMC}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta AMC}} = \dfrac{{15}}{2} - 5 = \dfrac{5}{2}(dvdt)\end{array}$ Câu hỏi 5 : Tìm $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 1$ cắt đường thẳng $d':y = 2x - 1$ tại $1$ điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : - Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau - Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước - Đường phân giác của góc phần tư thứ 2 có phương trình $y = - x$ Lời giải chi tiết : Ta có: $d \cap d' \Leftrightarrow m \ne 2$ Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $\begin{array}{l}mx + 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow (m - 2)x = - 2\\ \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} \Rightarrow y = 2.\dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} - 1 = \dfrac{{ - m - 2}}{{m - 2}}.\end{array}$ Phương trình đường phân giác góc phần tư thứ $2$ là $y = - x$ Vì $d$ và $d'$ cắt nhau tại $1$ điểm điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$ nên ta có: $\dfrac{{ - m - 2}}{{m - 2}} = - \dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} \Leftrightarrow - m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = - 4$ (t/m) Vậy $m = - 4$. Câu hỏi 6 : Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $2$ đường thẳng $d:y = mx - 2;d':y = 2x + 1$ cắt nhau tại điểm có hoành độ là số nguyên.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Phương pháp giải : - Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau - Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng - Tìm nghiệm nguyên Lời giải chi tiết : Ta có: $d \cap d' \Leftrightarrow m \ne 2$. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$ : $mx - 2 = 2x + 1 \Leftrightarrow (m - 2)x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{{m - 2}}$ Ta có $x = \dfrac{3}{{m - 2}} \in Z \Leftrightarrow m - 2 \in U(3) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$ Ta có bảng sau: Vậy $m \in \left\{ { - 1;1;3;5} \right\}$. Câu hỏi 7 : Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Phương trình đường thẳng $AB$ của tam giác $ABC$ là:
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : - Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước - Nhận xét được $MN//AB$ và $AB$ đi qua trung điểm $P$ Lời giải chi tiết : Giả sử $MN:y = {\rm{ax}} + b$ Ta có $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a = - b$; $M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = - 2$ Do đó $MN:y = - 2{\rm{x}} + 2$. Vì $M,N$ lần lượt là rung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$ Suy ra $AB$ có dạng: $y = - 2x + b'(b' \ne 2)$ Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên $AB$ đi qua $P\left( { - 1; - 1} \right)$ $ \Rightarrow - 1 = - 2( - 1) + b' \Leftrightarrow b' = - 3(t/m)$ Vậy $AB:y = - 2x - 3.$ Câu hỏi 8 : Cho đường thẳng $d:y = ({m^2} - 2m + 2)x + 4$. Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$ tại $A$ và cắt $Oy$ tại $B$ sao cho diện tích tam giác $AOB$ lớn nhất.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và 2 trục tọa độ. Biện luận và giải phương trình. Lời giải chi tiết : $\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x = 0 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow B(0;4) \Rightarrow OB = |4| = 4\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y = 0 \Leftrightarrow ({m^2} - 2m + 2)x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}} \right|\end{array}$ \( \Rightarrow OA = \dfrac{4}{{{m^2} - 2m + 2}}\) (vì ${m^2} - 2m + 2 = {(m - 1)^2} + 1 \ge 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\forall m}\end{array}$) ${S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.4.\dfrac{4}{{{m^2} - 2m + 2}} = \dfrac{8}{{{{(m - 1)}^2} + 1}}$ Hay ${S_{\Delta AOB}} = \dfrac{8}{{{{(m - 1)}^2} + 1}} \le \dfrac{8}{1} = 8$ Dấu “=” xảy ra khi $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$. Câu hỏi 9 : Cho tam giác $ABC$ có đường thẳng $BC:y = - \dfrac{1}{3}x + 1$ và $A\left( {1,2} \right)$ . Viết phương trình đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ .
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Phương pháp giải : Sử dụng kiến thức - $d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1$ - Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng $d:y=ax+b$ khi $y_0=ax_0+b.$ Lời giải chi tiết : Giả sử $AH:y = {\rm{ax}} + b$ Vì $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH$ vuông góc với $BC$ nên: $a.\dfrac{{ - 1}}{3} = - 1 \Leftrightarrow a = 3$ Mặt khác $AH$ đi qua $A\left( {1;2} \right)$ nên ta có: $3.1 + b = 2 \Leftrightarrow b = - 1$ Vậy $AH:y = 3x - 1$. Câu hỏi 10 : Điểm cố định mà đường thẳng $d:y = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}x + \sqrt k + 3 \, (k \ge 0)$ luôn đi qua là:
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà d luôn đi qua$ \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d,\forall m \Leftrightarrow m.A + B = 0,\forall m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$ Giải hệ phương trình tìm nghiệm. Lời giải chi tiết : Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà $d$ luôn đi qua. $\begin{array}{l} \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow {y_0} = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}{x_0} + \sqrt k + \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k {x_0} + {x_0} + \sqrt {3k} - \sqrt k - \sqrt 3 + 3 - \sqrt 3 {y_0} + {y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k ({x_0} + \sqrt 3 - 1) + {x_0} + 3 - \sqrt 3 + (1 - \sqrt 3 ){y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + \sqrt 3 - 1 = 0\\{x_0} + (1 - \sqrt 3 ){y_0} + 3 - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ) + (1 - \sqrt 3 ){y_0} + 3 - \sqrt 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ){y_0} + 4 - 2\sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ){y_0} + {(1 - \sqrt 3 )^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\{y_0} = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}$ $ \Rightarrow M\left( {1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)$là điểm cố định mà d luôn đi qua. Câu hỏi 11 : Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Phương trình đường thẳng $AB$ của tam giác $ABC$ là:
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : - Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước - Nhận xét được $MN//AB$ và $AB$ đi qua trung điểm $P$ Lời giải chi tiết : Giả sử $MN:y = {\rm{ax}} + b$ Ta có $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a = - b$; $M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = - 2$ Do đó $MN:y = - 2{\rm{x}} + 2$. Vì $M,N$ lần lượt là rung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$ Suy ra $AB$ có dạng: $y = - 2x + b'(b' \ne 2)$ Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên $AB$ đi qua $P\left( { - 1; - 1} \right)$ $ \Rightarrow - 1 = - 2( - 1) + b' \Leftrightarrow b' = - 3(t/m)$ Vậy $AB:y = - 2x - 3.$ Câu hỏi 12 : Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( {1;1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : + Sử dụng kiến thức điểm thuộc đường thẳng để viết phương trình $MN.$ + Sử dụng kiến thức đường trung bình, đường trung trực, điều kiện hai đường thẳng vuông góc và điểm thuộc đường thẳng để viết phương trình đường trung trực của $AB.$ Lời giải chi tiết : Gọi phương trình đường trung trực của $AB$ là $d:y = mx + n$ và $MN:y = ax + b$ Ta có $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a = - b$; $M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = - 2$ Do đó $MN:y = - 2{\rm{x}} + 2$. Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$. Vì $d$ là đường trung trực của $AB$ nên $d \bot MN \Rightarrow m( - 2) = - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$ $ \Rightarrow d:y = \dfrac{1}{2}x + n$ Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên \(d\) đi qua $P$ $ \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{2}.1 + n \Leftrightarrow n = \dfrac{1}{2}$. Vậy trung trực của $AB$ là : $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$. Câu hỏi 13 : Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\mx - y = 4\end{array} \right.\)\(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\) Câu 13.1 Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) trong đó \(x,y\) trái dấu.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : + Từ phương trình (1) biểu diễn \(x\) theo \(y.\) + Thế vào phương trình \(\left( 2 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\) + Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\) + Biến đổi theo yêu cầu \(xy < 0\) để tìm ra điều kiện của \(m.\) Lời giải chi tiết : Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\) (3) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\). Ta có: \(x.y = \dfrac{{3\left( {4 - 5m} \right)}}{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}\). Do đó \(x.y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{4}{5}\) (thỏa mãn điều kiện) Câu 13.2 Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x = \left| y \right|\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : + Từ phương trình (1) biểu diễn \(x\) theo \(y.\) + Thế vào phương trình \(\left( 2 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\) + Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\) + Biến đổi theo yêu cầu \[x = \left| y \right|\] để tìm ra điều kiện của \(m.\) Lời giải chi tiết : Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\) (3) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\). Ta có: \(x = \left| y \right| \Leftrightarrow \dfrac{3}{{2m - 1}} = \left| {\dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}} \right|\) (4) Từ (4) suy ra \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\). Với điều kiện \(m > \dfrac{1}{2}\) ta có: \(\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left| {4 - 5m} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 5m = 3\\4 - 5m = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{5}\left( l \right)\\m = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\). Vậy \(m = \dfrac{7}{5}\). Câu hỏi 14 : Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 2\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = \left( {2{m^2} - m} \right)x + {m^2} + m\). Câu 14.1 Tìm \(m\) để \(({d_1})//({d_2})\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : Hai đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b;\,\left( {d'} \right):y = a'x + b'\) song song với nhau khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết : Đường thẳng \(({d_1})//({d_2})\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - m = 1\\{m^2} + m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0\\\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\). Vậy với \(m = - \dfrac{1}{2}\) thì \(({d_1})//({d_2})\). Câu 14.2 Gọi \(A\) là điểm thuộc đường thẳng \(({d_1})\) có hoành độ \(x = 2\). Viết phương trình đường thẳng \(({d_3})\) đi qua \(A\) vuông góc với \(({d_1})\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : + Tìm điểm A. + Sử dụng: Hai đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b;\,\left( {d'} \right):y = a'x + b'\) vuông góc với nhau khi \(a.a' = - 1\). Lời giải chi tiết : Vì \(A\) là điểm thuộc đường thẳng \(({d_1})\) có hoành độ \(x = 2\) suy ra tung độ điểm \(A\) là \(y = 2 + 2 = 4 \Rightarrow A\left( {2;4} \right)\) . Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) có hệ số góc là \(a = 1\), đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) có hệ số góc là \(a' \Rightarrow a'.1 = - 1 \Rightarrow a' = - 1\) . Đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) có dạng \(y = - x + b\). Vì \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua \(A\left( {2;4} \right)\) suy ra \(4 = - 2 + b \Rightarrow b = 6\). Vậy đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) là \(y = - x + 6\). Câu 14.3 Khi \(({d_1})//({d_2})\). Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(({d_1}),\left( {{d_2}} \right)\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Phương pháp giải : Khi \(({d_1})//({d_2})\) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) sao cho \(AB \bot ({d_1}),AB \bot \left( {{d_2}} \right)\). Lời giải chi tiết : Khi \(({d_1})//({d_2})\) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) sao cho \(AB \bot ({d_1}),AB \bot \left( {{d_2}} \right)\). Hình vẽ: Gọi \(B\) là giao điểm của đường thẳng \(({d_3})\) và \(({d_2})\). Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) là: \( - x + 6 = x - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{{25}}{8} \Rightarrow y = \dfrac{{23}}{8} \Rightarrow B\left( {\dfrac{{25}}{8};\dfrac{{23}}{8}} \right)\). Vậy độ dài đoạn thẳng \(AB\) là: \(AB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{25}}{8} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{23}}{8} - 4} \right)}^2}} = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{8}\). Câu 14.4 Tính diện tích tam giác \(OMN\) với \(M,N\) lần lượt là giao điểm của \(({d_1})\) với các trục tọa độ \(Ox,Oy\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : + Tìm tọa độ M, N. Tính độ dài \(OM;ON\) sau đó tính diện tích tam giác \(OMN.\) Lời giải chi tiết : Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) với các trục tọa độ \(Ox,Oy\). Ta có: Cho \(y = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow A\left( { - 2;0} \right)\), cho \(y = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow N\left( { - 2;0} \right)\). Từ đó suy ra \(OM = ON = 2\). Tam giác $OMN$ vuông cân tại \(O\) nên \({S_{OMN}} = \dfrac{1}{2}OM.ON = 2\) ( đvdt). Câu hỏi 15 : Cho $2$ đường thẳng: $d:y = x + 3;d':y = \dfrac{{ - 2}}{3}x + \dfrac{4}{3}$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ . $A$ và $C$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục hoành; $B$ và $D$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục tung. Khi đó diện tích tam giác $CMB$ là:
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : - Lập bảng giá trị để xác định 2 điểm thuộc đường thẳng. - Xác định giao điểm 2 đường thẳng đã cho - Tính độ dài các đoạn thẳng cần thiết - Dựng đường cao của tam giác được tạo thành - Tính diện tích các tam giác phụ được tạo thành - Tính diện tích tam giác theo yêu cầu đề bài. Lời giải chi tiết : Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x + 3 = - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow 3x + 9 = - 2x + 4 \Leftrightarrow 5x = - 5 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 2$ Do đó giao điểm của $2$ đường thẳng đã cho là $M\left( { - 1;2} \right)$ $\begin{array}{l}d \cap Ox = A( - 3;0) \Rightarrow OA = 3\\d' \cap Ox = C(2;0) \Rightarrow OC = 2\\d \cap Oy = B(0;3) \Rightarrow OB = 3\\d' \cap Oy = D\left( {0;\dfrac{4}{3}} \right)\\ \Rightarrow AC = OA + OC = 3 + 2 = 5\\{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.OB = \dfrac{1}{2}.5.3 = \dfrac{{15}}{2}(dvdt)\end{array}$ Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $Ox$ $\begin{array}{l} \Rightarrow MH = |{y_M}| = 2\\{S_{\Delta AMC}} = \dfrac{1}{2}MH.AC = \dfrac{1}{2}.2.5 = 5(dvdt)\\{S_{\Delta BMC}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta AMC}} = \dfrac{{15}}{2} - 5 = \dfrac{5}{2}(dvdt)\end{array}$ Câu hỏi 16 : Cho đường thẳng: \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0\) \((d)\). Câu 16.1 Tìm điểm cố định \(I\) mà đường thẳng \((d)\) luôn đi qua.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Đưa về phương trình bậc nhất ẩn \(m\) là \(am + b = 0\) đúng với mọi \(m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết : Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \((d)\) luôn đi qua với mọi \(m\) khi đó ta có: \(m{x_0} + \left( {2 - 3m} \right){y_0} + m - 1 = 0\) với mọi \(m\) \( \Leftrightarrow m\left( {{x_0} - 3{y_0} + 1} \right) + 2{y_0} - 1 = 0\) với mọi \(m\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3{y_0} + 1 = 0\\2{y_0} - 1 = 0\end{array} \right.\). Hay\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{1}{2}\\{y_0} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\). Câu 16.2 Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \((d)\) là lớn nhất.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \((d)\). Ta có: \(OH \le OI\) suy ra \(OH\) lớn nhất bằng \(OI\) khi và chỉ khi \(H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)\). Lời giải chi tiết : Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \((d)\). Ta có: \(OH \le OI\) suy ra \(OH\) lớn nhất bằng \(OI\) khi và chỉ khi \(H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)\). Đường thẳng qua \(O\) có phương trình: \(y = ax\) do \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \in OI \Rightarrow \dfrac{1}{2} = a.\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow OI:y = x\) Đường thẳng \((d)\) được viết lại như sau: \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - 3m} \right)y = - mx + 1 - m\). + Đế ý rằng với \(m = \dfrac{2}{3}\) thì đường thẳng \((d):x - \dfrac{1}{2} = 0\) song song với trục \(Oy\) nên khoảng cách từ \(O\) đến \((d)\) là \(\dfrac{1}{2}\). + Nếu \(m \ne \dfrac{2}{3}\) đường thẳng \((d)\) có thể viết lại: \(y = \dfrac{m}{{3m - 2}}x + \dfrac{{m - 1}}{{3m - 2}}\). Điều kiện để \((d) \bot OI\) là \(\dfrac{m}{{3m - 2}}.1 = - 1 \Leftrightarrow m = 2 - 3m \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\). Khi đó khoảng cách \(OI = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\). Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm. Câu hỏi 17 : Xác định các hệ số \(a,b\) của hàm số \(y = ax + b\) để: Câu 17.1 Đồ thị của nó đi qua hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {2;4} \right)\):
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : Thay tọa độ các điểm \(A,B\) vào phương trình của đường thẳng rồi biến đổi và tính toán. Lời giải chi tiết : Thay tọa độ các điểm \(A,B\) vào phương trình của đường thẳng ta được: $\left\{ \begin{array}{l}3 = a + b\,\,\left( 1 \right)\\4 = 2a + b\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ Từ \(\left( 1 \right)\) ta có \(b = 3 - a\) . Thay \(b = 3 - a\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(4 = 2a + 3 - a \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = 2\) . Vậy \(a = 1,b = 2\). Câu 17.2 Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 4\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : + Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành. + Thay tọa độ các điểm vừa tìm được vào hàm số để tìm \(a,b.\) Lời giải chi tiết : Vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 4\) nên điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số, đồ thị cắt trục hoành tại điểm ó hoành độ \(2\) nên điểm \(B\left( {2;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số. Thay tọa độ điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\) vào hàm số \(y = ax + b\) ta được: \( - 4 = 0.a + b \Leftrightarrow b = - 4\) \( \Rightarrow y = a.x - 4\) Thay tọa độ điểm \(B\left( {2;0} \right)\) vào hàm số \(y = a.x - 4\) ta được: \(0 = a.2 - 4 \Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2.\) Vậy \(a = 2;b = - 4.\) Câu hỏi 18 : Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\mx - y = 4\end{array} \right.\)\(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\) Câu 18.1 Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) trong đó $x,y$ trái dấu.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : + Từ phương trình (1) biểu diễn \(x\) theo \(y.\) + Thế vào phương trình \(\left( 2 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\) + Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\) + Biến đổi theo yêu cầu \(xy < 0\) để tìm ra điều kiện của \(m.\) Lời giải chi tiết : Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\) (3) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\). Ta có: \(x.y = \dfrac{{3\left( {4 - 5m} \right)}}{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}\). Do đó \(x.y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{4}{5}\) (thỏa mãn điều kiện). Câu 18.2 Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn $x = \left| y \right|$.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : + Từ phương trình (1) biểu diễn \(x\) theo \(y.\) + Thế vào phương trình \(\left( 2 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\) + Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\) + Biến đổi theo yêu cầu $x = \left| y \right|$ để tìm ra điều kiện của \(m.\) Lời giải chi tiết : Từ phương trình (1) ta có: \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\) (3) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\). Ta có: \(x = \left| y \right| \Leftrightarrow \dfrac{3}{{2m - 1}} = \left| {\dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}} \right|\) (4) Từ (4) suy ra: \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\). Với điều kiện: \(m > \dfrac{1}{2}\) ta có: \(\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left| {4 - 5m} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 5m = 3\\4 - 5m = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{5}\left( l \right)\\m = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\). Vậy \(m = \dfrac{7}{5}\). Câu hỏi 19 : Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\\mx + y = 3m - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\)
Câu 19.1 Tìm số nguyên \(m\) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) mà $x,y$ đều là số nguyên.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : + Từ phương trình (2) biểu diễn \(y\) theo \(x.\) + Thế vào phương trình \(\left( 1 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(x.\) + Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\) + Biến đổi theo yêu cầu $x;y \in Z$ để tìm ra điều kiện của \(m.\) Lời giải chi tiết : Từ phương trình (2) ta có \(y = 3m - 1 - mx\). Thay vào phương trình (1) ta được:\(x + m\left( {3m - 1 - mx} \right) = m + 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 3{m^2} - 2m - 1\) (3) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\). Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{\left( {m - 1} \right)\left( {3m + 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right).\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}}\\y = 3m - 1 - m.\dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}\end{array} \right.\) Hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\) Vậy \(x,y\) nguyên khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{{m + 1}}\) nguyên. Do đó \(m + 1\) chỉ có thể là \( - 2; - 1;1;2\). Vậy \(m \in \left\{ { - 3; - 2;0} \right\}\) (thỏa mãn) hoặc \(m = 1\) (loại). Câu 19.2 Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thì điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn chạy trên đường thẳng nào dưới đây?
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : + Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (sử dụng kết quả câu trước ) + Tìm \(x;y\) theo \(m\) và biến đổi để có hệ thức của \(x;y\) độc lập với \(m.\) Lời giải chi tiết : Theo câu trước ta có hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \ne \pm 1\). Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\) Suy ra: $x - y = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}} - \left( {1 - \dfrac{2}{{m + 1}}} \right) = 2$ Vậy điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình \(y = x - 2\). Câu 19.3 Tìm \(m\) để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : + Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (sử dụng kết quả câu trước). + Tìm \(x;y\) theo \(m\) và biến đổi để có \(x.y\) nhỏ nhất. Lời giải chi tiết : Theo câu trước ta có hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \ne \pm 1\). Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\) Suy ra: \(y = x - 2.\) Nên \(xy = x.\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 2x + 1 - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \ge - 1\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(x = 1 \Leftrightarrow 3 - \dfrac{2}{{m + 1}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{m + 1}} = 2 \Leftrightarrow m + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0\). Vậy với \(m = 0\) thì \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất. Câu hỏi 20 : Tìm $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 1$ cắt đường thẳng $d':y = 2x - 1$ tại $1$ điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : - Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau. - Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước. - Đường phân giác của góc phần tư thứ 2 có phương trình $y = - x$. Lời giải chi tiết : Ta có: $d \cap d' \Leftrightarrow m \ne 2$ Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $\begin{array}{l}mx + 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow (m - 2)x = - 2\\ \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} \Rightarrow y = 2.\dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} - 1 = \dfrac{{ - m - 2}}{{m - 2}}.\end{array}$ Phương trình đường phân giác góc phần tư thứ $2$ là $y = - x$ Vì $d$ và $d'$ cắt nhau tại $1$ điểm điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$ nên ta có: $\dfrac{{ - m - 2}}{{m - 2}} = - \dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} \Leftrightarrow - m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = - 4$(t/m) Vậy $m = - 4$. Câu hỏi 21 : Giá trị nguyên có thể có của $m$ để $2$ đường thẳng $d:y = mx - 2;d':y = 2x + 1$ cắt nhau tại điểm có hoành độ là số nguyên.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Phương pháp giải : - Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau. - Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng. - Tìm nghiệm nguyên. Lời giải chi tiết : Ta có: $d \cap d' \Leftrightarrow m \ne 2$. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $mx - 2 = 2x + 1 \Leftrightarrow (m - 2)x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{{m - 2}}$ Ta có: $x = \dfrac{3}{{m - 2}} \in Z \Leftrightarrow m - 2 \in U(3) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$. Ta có bảng sau:
Vậy $m \in \left\{ { - 1;1;3;5} \right\}$. Câu hỏi 22 : Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Phương trình đường thẳng $AB$ của tam giác $ABC$ là:
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : - Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước. - Nhận xét được $MN//AB$ và $AB$ đi qua trung điểm $P$. Lời giải chi tiết : Giả sử: $MN:y = {\rm{ax}} + b$ Ta có: $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a = - b$; $M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = - 2$ Do đó: $MN:y = - 2{\rm{x}} + 2$. Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$. Suy ra: $AB$ có dạng: $y = - 2x + b'(b' \ne 2)$ Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên $AB$ đi qua $P\left( { - 1; - 1} \right)$. $ \Rightarrow - 1 = - 2( - 1) + b' \Leftrightarrow b' = - 3(t/m)$ Vậy $AB:y = - 2x - 3.$
|