Trắc nghiệm Bài 3: Lũy thừa của một số hữu tỉ Toán 7 Chân trời sáng tạo

Câu 1 :

Chọn câu sai. Với hai số hữu tỉ \(a,\,b\) và các số tự nhiên \(m,\,n\)  ta có

  • A

    ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$

  • B

    ${\left( {a.b} \right)^m} = {a^m}.{b^m}$

  • C

    \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}\)

  • D

    ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C

Lời giải chi tiết :

Ta có ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$, ${\left( {a.b} \right)^m} = {a^m}.{b^m}$ và \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\) nên  C sai.

Câu 2 :

Tính \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3}\)

  • A

    $\dfrac{8}{9}$

  • B

    $\dfrac{8}{{27}}$

  • C

    \(\dfrac{4}{9}\)

  • D

    $\dfrac{4}{{27}}$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức \({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3}\)\( = \dfrac{{{2^3}}}{{{3^3}}} = \dfrac{8}{{27}}\)

Câu 3 :

Chọn khẳng định đúng. Với số hữu tỉ \(x\) ta có

  • A

    ${x^0} = x$

  • B

    ${x^1} = 1$    

  • C

    \({x^0} = 1\)

  • D

    ${\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{y^n}\left( {y \ne 0;\,n \in \mathbb{N}} \right)$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^1} = x;\)\({x^0} = 1\)\(\left( {x \ne 0} \right)\) nên A, B, C sai

${\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{y^n}\left( {y \ne 0;\,n \in \mathbb{N}} \right)$ nên D đúng.

Câu 4 :

Kết quả của phép tính \({\left( {\dfrac{1}{7}} \right)^2}{.7^2}\) là:

  • A

    $7$

  • B

    $\dfrac{1}{{49}}$

  • C

    \(\dfrac{1}{7}\)

  • D

    $1$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức ${\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{y^n}\left( {y \ne 0;\,n \in \mathbb{N}} \right)$ rồi thực hiện phép nhân.

Lời giải chi tiết :

Ta có \({\left( {\dfrac{1}{7}} \right)^2}{.7^2} = \dfrac{1}{{{7^2}}}{.7^2} = \dfrac{{{7^2}}}{{{7^2}}} = 1\)

Câu 5 :

Chọn câu sai.

  • A

    ${\left( {-2019} \right)^0} = 1$

  • B

    $\left( {0,5} \right).{\left( {0,5} \right)^2} = \dfrac{1}{4}$

  • C

    ${4^6}:{\rm{ }}{4^4} = 16$

  • D

    ${\left( {-3} \right)^3}.{\left( {-{\rm{ }}3} \right)^{{\rm{ }}2}} = {\left( { - 3} \right)^5}$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B

Phương pháp giải :

Sử dụng  công thức lũy thừa để tính toán:

 \({x^1} = x;\)\({x^0} = 1\)\(\left( {x \ne 0} \right)\)

\({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\); \({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\)\(\left( {x \ne 0,m \ge n} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {-2019} \right)^0} = 1$ nên A đúng.

+)  ${4^6}:{\rm{ }}{4^4} = {4^2} = 16$ nên C đúng

+)  ${\left( {-3} \right)^3}.{\left( {-{\rm{ }}3} \right)^{{\rm{ }}2}} = {\left( { - 3} \right)^{3 + 2}} = {\left( { - 3} \right)^5}$nên D đúng

+) $\left( {0,5} \right).{\left( {0,5} \right)^2} = {\left( {0,5} \right)^3} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} = \dfrac{1}{8}$ nên B sai.

Câu 6 :

Số  ${x^{12}}$ (với $x \ne 0$)  không bằng số nào trong các số sau đây ?

  • A

    ${x^{18}}:{x^6}(x\; \ne 0)$

  • B

    ${x^4}.{\rm{ }}{x^8}$

  • C

    ${x^2}.{\rm{ }}{x^6}$

  • D

    ${\left( {{x^3}} \right)^4}$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C

Phương pháp giải :

Ta áp dụng các công thức sau: ${x^m}.{x^n} = {x^{m + n}};{x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}$$\left( {m \ge n,x \ne 0;m,n \in {N^ * }} \right)$,  ${\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có

+) ${x^{18}}:{x^6} = {x^{12 - 6}} = {x^{12}}(x\; \ne 0)$ nên A đúng.

+) ${x^4}.{\rm{ }}{x^8} = {x^{4 + 8}} = {x^{12}}$ nên B đúng.

+ ${\left( {{x^3}} \right)^4} = {x^{3.4}} = {x^{12}}$ nên D đúng.

Ta thấy ở đáp án C: \({x^2}.{x^6} = {x^{2 + 6}} = {x^8} \ne {x^{12}}\)

nên C sai.

Câu 7 :

Số  ${2^{24}}$ viết dưới dạng lũy thừa có số mũ $8$  là:

  • A

    ${8^8}$

  • B

    ${9^8}$          

  • C

    ${6^8}$       

  • D

    Một đáp số khác

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức ${\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}$để tính toán

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({2^{24}} = {2^{3.8}} = {\left( {{2^3}} \right)^8} = {8^8}\)

Câu 8 :

Số $x$ sao cho ${2^x}\; = {\left( {{2^2}} \right)^5}$   là :

  • A

    \(5\)  

  • B

    $7$     

  • C

    ${2^7}$

  • D

    $10$  

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức lũy thừa của lũy thừa \({({x^m})^n} = {x^{m.n}}\)  đưa hai lũy thừa về cùng cơ số và so sánh số mũ.

Lời giải chi tiết :

${2^x}\; = {\left( {{2^2}} \right)^5} \Leftrightarrow {2^x} = {2^{2.5}} \Leftrightarrow {2^x} = {2^{10}} \Leftrightarrow x = 10$

Câu 9 :

Số $a$ thỏa mãn $a:{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^4} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3}$ là :

  • A

    $\dfrac{1}{3}$

  • B

    ${\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^7}$

  • C

    ${\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^6}$

  • D

    $\dfrac{1}{{18}}$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số ${x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}$

Lời giải chi tiết :

$a{\rm{ }}:{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^4} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3}$

$a = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^4}$

$a = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{3 + 4}}$

$a = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^7}$

Câu 10 :

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${\left( {x + \dfrac{1}{3}} \right)^2} + \dfrac{1}{{100}}$ đạt được là: 

  • A

    $ - \dfrac{1}{2}$

  • B

    $\dfrac{{ - 1}}{{100}}$

  • C

    $\dfrac{1}{{100}}$

  • D

    $\dfrac{{81}}{{100}}$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C

Phương pháp giải :

Dùng phương pháp đánh giá biểu thức, sử dụng \({x^2} \ge 0,\forall x\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${\left( {x + \dfrac{1}{3}} \right)^2} \ge 0 $ với mọi $x$

$\Rightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{3}} \right)^2} + \dfrac{1}{{100}} \ge 0+ \dfrac{1}{{100}}$

$\Rightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{3}} \right)^2} + \dfrac{1}{{100}} \ge \dfrac{1}{{100}}$

Do đó GTNN biểu thức đạt được là \(\dfrac{1}{{100}}\) khi và chỉ khi

\((x + \dfrac{1}{3})^2 = 0\) \(\Rightarrow x + \dfrac{1}{3} = 0\) hay \(x =  - \dfrac{1}{3}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $\dfrac{1}{100}.$

Câu 11 :

Cho ${20^n}\;:\;{5^n} = 4$ thì  :

  • A

    $n = 0$

  • B

    $n = 3$

  • C

    $n = 2$

  • D

    $n = 1$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức ${x^m}:{y^m} = {\left( {x:y} \right)^m}$$\left( {y \ne 0;m \in {N^ * }} \right)$

Lời giải chi tiết :

\({20^n}\;:\;{5^n} = 4\)  

\({(20:5)^n} = 4\)

\({4^n} = 4\)

\(n = 1\)

Câu 12 :

Cho biểu thức $A = \dfrac{{{2^7}{{.9}^3}}}{{{6^5}{{.8}^2}}}$. Chọn khẳng định đúng.

  • A

    $A > 1$          

  • B

    $A < 1$

  • C

    $A > 2$

  • D

    $A = 1$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B

Phương pháp giải :

Ta áp dụng công thức sau để tính toán

* ${x^m}.{x^n} = \underbrace {x.x.x....x}_m.\underbrace {x...x}_n = {x^{m + n}}$              

*${x^m}:{x^n} = \dfrac{{{x^m}}}{{{x^n}}} = {x^{m - n}}$ ($m \ge n$)

* \({x^{m.n}} = {\left( {{x^m}} \right)^n}\)

Lời giải chi tiết :

$A = \dfrac{{{2^7}{{.9}^3}}}{{{6^5}{{.8}^2}}} = \dfrac{{{2^7}.{{\left( {{3^2}} \right)}^3}}}{{{2^5}{{.3}^5}.{{\left( {{2^3}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{2^7}{{.3}^6}}}{{{2^5}{{.2}^6}{{.3}^5}}} = \dfrac{{{2^7}{{.3}^6}}}{{{2^{11}}{{.3}^5}}} = \dfrac{{1.3}}{{{2^4}.1}} = \dfrac{3}{{16}}$

Câu 13 :

Giá trị của biểu thức \(\dfrac{{{4^6}{{.9}^5} + {6^9}.120}}{{{8^4}{{.3}^{12}} - {6^{11}}}}\) là

  • A

    $\dfrac{4}{5}$

  • B

    $\dfrac{5}{4}$

  • C

    $\dfrac{{22}}{{30}}$

  • D

    $\dfrac{{15}}{{11}}$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức \({x^{m.n}} = {\left( {{x^m}} \right)^n}\) và \({\left( {x.y} \right)^m} = {x^m}.{y^m}\)  để biển đổi và tính toán.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\dfrac{{{4^6}{{.9}^5} + {6^9}.120}}{{{8^4}{{.3}^{12}} - {6^{11}}}} = \dfrac{{{{\left( {{2^2}} \right)}^6}.{{\left( {{3^2}} \right)}^5} + {6^9}.120}}{{{{\left( {{2^3}} \right)}^4}{{.3}^{12}} - {6^{11}}}}\)\( = \dfrac{{{2^{12}}{{.3}^{10}} + {6^9}.6.20}}{{{2^{12}}{{.3}^{12}} - {6^{11}}}} = \dfrac{{{2^2}{{.2}^{10}}{{.3}^{10}} + {6^{10}}.20}}{{{{\left( {2.3} \right)}^{12}} - {6^{11}}}}\)\( = \dfrac{{{2^2}{{.6}^{10}} + {6^{10}}.20}}{{{6^{12}} - {6^{11}}}}\)\( = \dfrac{{{6^{10}}\left( {{2^2} + 20} \right)}}{{{6^{10}}\left( {{6^2} - 6} \right)}} = \dfrac{{24}}{{30}} = \dfrac{4}{5}\)

Câu 14 :

Tìm \(x\), biết \({\left( {5x - 1} \right)^6} = 729\)

  • A

    \(x = \dfrac{4}{5}\) hoặc \(x = \dfrac{2}{5}\)

  • B

    \(x =  - \dfrac{4}{5}\) hoặc \(x =  - \dfrac{2}{5}\)

  • C

    \(x = \dfrac{4}{5}\) hoặc \(x =  - \dfrac{2}{5}\)        

  • D

    \(x =  - \dfrac{4}{5}\) hoặc \(x = \dfrac{2}{5}\)

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C

Phương pháp giải :

Áp dụng các công thức sau để tìm $x$

*${x^{2n}} = {a^{2n}} \Rightarrow x = a$ hoặc $x =  - a$

*${x^{2n + 1}} = {a^{2n + 1}} \Rightarrow x = a$

Lời giải chi tiết :

\({\left( {5x - 1} \right)^6} = 729\)

\({\left( {5x - 1} \right)^6} = {(3)^6}\)

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}5x-1 = 3\\5x = 4\\x = \dfrac{4}{5}\end{array}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}5x-1 =  - 3\\5x =  - 2\\x =  - \dfrac{2}{5}\end{array}$

Vậy \(x = \dfrac{4}{5}\) hoặc \(x =  - \dfrac{2}{5}\)

Câu 15 :

Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x + 1} \right)^3} =  - 0,001\)?

  • A

    $0$     

  • B

    $1$

  • C

    $2$     

  • D

    $3$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B

Phương pháp giải :

Nếu \(n \in N\) lẻ mà \({a^n} = {b^n}\) thì \(a = b\)

Lời giải chi tiết :

\({\left( {2x + 1} \right)^3} =  - {0,1^3} = {\left( { - 0,1} \right)^3}\)

\(2x + 1 =  - 0,1\)

\(2x =  - 0,1 - 1\)

\(2x =  - 1,1\)

\(x =  - 1,1:2\)

\(x =  - 0,55\)  

Vậy $x =  - 0,55$.

Câu 16 :

Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \({5^n} + {5^{n + 2}} = 650\).

  • A

    $n = 1$

  • B

    $n = 2$           

  • C

    $n = 3$

  • D

    $n = 4$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức sau để tìm $n$

$a \ne 0;a \ne  \pm 1$ , nếu ${a^m} = {a^n}$ thì $m = n$

Lời giải chi tiết :

\({5^n} + {5^{n + 2}} = 650\)

\({5^n} + {5^n}{.5^2} = 650\)

\({5^n}\left( {1 + {5^2}} \right) = 650\)

\({5^n}\left( {1 + 25} \right) = 650\)

\({5^n}.26 = 650\)

\({5^n} = 650:26\)

\({5^n} = 25\)

\({5^n} = {5^2}\)

\(n = 2\)

Vậy $n = 2$

Câu 17 :

Cho biết : \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {10^2} = 385\) . Tính nhanh giá trị của biểu thức sau:

\(S = \left( {{{12}^2} + {{14}^2} + {{16}^2} + {{18}^2} + {{20}^2}} \right) - \left( {{1^2} + {3^2} + {5^2} + {7^2} + {9^2}} \right)\)

  • A

    $1155$           

  • B

    $5511$

  • C

    $5151$

  • D

    $1515$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A

Phương pháp giải :

Ta biến đổi biểu thức cần tính sao cho xuất hiện giả thiết đề bài cho. Từ đó thay vào ta sẽ tính được giá trị của biểu thức

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {10^2} = 385\)

Suy ra \({1^2} + {3^2} + {5^2} + {7^2} + {9^2} = 385 - \left( {{2^2} + {4^2} + {6^2} + {8^2} + {{10}^2}} \right) = 385 - {2^2}\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2} + {5^2}} \right)\)

Và \({12^2} + {14^2} + {16^2} + {18^2} + {20^2} = {2^2}.\left( {{6^2} + {7^2} + {8^2} + {9^2} + {{10}^2}} \right)\)

Suy ra \(\) \(S = {2^2}.\left( {{6^2} + {7^2} + {8^2} + {9^2} + {{10}^2}} \right) - 385 + {2^2}\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2} + {5^2}} \right)\)

 \(S = {2^2}\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2} + {5^2} + {6^2} + {7^2} + {8^2} + {9^2} + {{10}^2}} \right) - 385 = 4.385 - 385 = 1155\)

Vậy $S{\rm{ }} = {\rm{ }}1155$.

Câu 18 :

Cho \(A = 1 - \dfrac{3}{4} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^4} - ... - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2017}} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2018}}\). Chọn đáp án đúng.

  • A

    \(A\) không phải là một số nguyên

  • B

    \(A\) là một số nguyên

  • C

    \(A\) là một số nguyên dương

  • D

    \(A\) là một số nguyên âm

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A

Phương pháp giải :

+ Nhân \(A\) với \(\dfrac{3}{4}\) rồi thực hiện cộng \(A\) với \(\dfrac{3}{4}A\), sau đó thu gọn kết quả và suy ra \(A\).

+ Sử dụng: Khi \(0 < a < 1\) và \(m > n > 0\) thì \({a^m} < {a^n}\) để đánh giá \(A\)

Lời giải chi tiết :

\(A = 1 - \dfrac{3}{4} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^4} - ... - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2017}} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2018}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{3}{4}A = \dfrac{3}{4} - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^3} - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^4} + ...\) \( + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2017}} - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2018}} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2019}}\)  

\( \Rightarrow A + \dfrac{3}{4}A = 1 + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2019}}\)

\( \Rightarrow \left( {1 + \dfrac{3}{4}} \right)A = 1 + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2019}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{7}{4}.A = 1 + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2019}}\)

\( \Rightarrow A = \left[ {1 + {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^{2019}}} \right]:\dfrac{7}{4} = \left[ {1 + {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^{2019}}} \right].\dfrac{4}{7}\)

Suy ra \(A > 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \({\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2019}} < \dfrac{3}{4} \Rightarrow A < \left( {1 + \dfrac{3}{4}} \right).\dfrac{4}{7} = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(0 < A < 1\).

Vậy \(A\) không phải là số nguyên.

close