Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 5 Toán 9Làm bài tậpCâu hỏi 1 : Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) chiều cao \(AH\). Chọn câu sai.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Lời giải chi tiết :  Ta thấy \(AH.BC = AB.AC\) nên D sai. Câu hỏi 2 : Cho hình vẽ sau:  Chọn câu sai.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Lời giải chi tiết : + Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) có \(\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}}\) nên A đúng. + Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}}\) nên B đúng. + Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}}\) nên C đúng. + Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) có \(\tan C = \dfrac{{AH}}{{CH}}\) nên D sai. Câu hỏi 3 : Chọn câu đúng nhất. Nếu \(\alpha \) là một góc nhọn bất kỳ, ta có
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Lời giải chi tiết : Nếu \(\alpha \) là một góc nhọn bất kỳ thì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\tan \alpha .\cot \alpha = 1\) $\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ nên cả A, B, C đều đúng Câu hỏi 4 : Cho \(\alpha ;\beta \) là hai góc nhọn bất kì và \(\alpha < \beta \). Chọn câu đúng.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Lời giải chi tiết : Với \(\alpha ;\beta \) là hai góc nhọn bất kì và \(\alpha < \beta \) thì \(\sin \alpha < \sin \beta ;\,\cos \alpha > \cos \beta ;\tan \alpha < \tan \beta ;\cot \alpha > \cot \beta .\) Vậy A, B, D sai, C đúng. Câu hỏi 5 : Tính giá trị của \(x\) trên hình vẽ 
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “ Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền” Lời giải chi tiết : Xét tam giác \(MNP\) vuông tại \(M,\) có \(MK \bot NP\) ta có \(M{K^2} = NK.PK\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) Hay \({x^2} = 6.9 \Leftrightarrow {x^2} = 54 \Rightarrow x = 3\sqrt 6 \,.\) Câu hỏi 6 : Cho \(\tan a = 3.\) Khi đó \(\cot a\) bằng
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Sử dụng \(\tan a.\cot a = 1\) để tìm \(\cot a.\) Lời giải chi tiết : Ta có \(\tan a.\cot a = 1\) nên \(\cot a = \dfrac{1}{{\tan a}} = \dfrac{1}{3}.\) Câu hỏi 7 : Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3cm,{\rm{ }}BC = 5cm.{\rm{ }}AH$ là đường cao. Tính $BH,CH,AC$ và $AH.$
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Lời giải chi tiết :  Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) + Theo định lý Pytago ta có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow A{C^2} = {5^2} - {3^2} \Rightarrow AC = 4cm\) + Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = \dfrac{9}{5} = 1,8cm\) Mà \(BH + CH = BC \Rightarrow CH = BC - BH = 5 - 1,8 = 3,2\,cm.\) Lại có \(AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{3.4}}{5} = 2,4cm\) Vậy \(BH = 1,8\,cm\), \(CH = 3,2\,cm\), \(AC = 4\,cm\), \(AH = 2,4\,cm\) Câu hỏi 8 : Giải tam giác vuông $ABC,$ biết $\widehat A = 90^\circ \;$ và $BC = 50cm;\widehat B = {48^o}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Phương pháp giải : Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông đó Sử dụng các tỉ số lượng giác, định lý về góc trong tam giác, hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. Lời giải chi tiết :  Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat A = {90^o}$ \(AC = BC.\sin B = 50.\sin 48^\circ \approx 37,2cm\) \(AB = BC.\cos B = 50.\cos 48^\circ \approx 33,5cm\) Vậy \(AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ \) . Câu hỏi 9 : Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 21\,cm$; $\widehat C = 40^\circ $ , phân giác \(BD\) (\(D\) thuộc \(AC\) ). Độ dài phân giác $BD$ là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Phương pháp giải : + Tính góc \(ABC\) từ đó suy ra góc \(ABD\) + Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông \(ABD\) để tính \(BD.\) Lời giải chi tiết :  Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ABC} + \widehat C = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} = 50^\circ \) Mà \(BD\) là phân giác góc \(ABC\) nên \(\widehat {ABD} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} = 25^\circ \) Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) ta có \(BD = \dfrac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} = \dfrac{{21}}{{\cos 25^\circ }} \approx 23,2\,cm\) Câu hỏi 10 : Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ có $AC = 14,BC = 17.$ Khi đó \(\tan B\) bằng:
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : + Tính \(AB\) theo định lý Pytago + Tính \(\tan B\) theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn. Lời giải chi tiết :  Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lý Pytago ta có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow A{B^2} = {17^2} - {14^2} \Rightarrow AB = \sqrt {93} \) Lại có $\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{14}}{{\sqrt {93} }} = \dfrac{{14\sqrt {93} }}{{93}}$ Câu hỏi 11 : Giá trị biểu thức ${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $ là
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Biến đổi biểu thức đã cho thành hằng đẳng thức thứ nhất Sử dụng \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) để tính giá trị biểu thức Lời giải chi tiết : Ta có ${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $\( = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} + 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2}\) \( = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {1^2} = 1\) (vì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)) Câu hỏi 12 : Cạnh bên của tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) dài $20cm$ , góc ở đáy là \(50^\circ \)
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : + Kẻ đường cao \(AH.\) + Tính \(HB\) dựa vào quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông + Lập luận dựa vào tính chất tam giác cân để tính cạnh đáy \(BC.\) Lời giải chi tiết :  Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H.\) Suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến) Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) có \(\cos \widehat {ABH} = \dfrac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow BH = AB.\cos \widehat {ABH}\)\( = 20.\cos 50^\circ \) Mà \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BC = 2BH = 2.2.\cos 50^0\approx 25,7\,cm\) Vậy \(BC \approx 25,7\,cm.\) Câu hỏi 13 : Cho hình vẽ, tìm \(x.\) 
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “ bình phương cạnh góc vuông bằng tích hình chiếu của nó lên cạnh huyền với cạnh huyền” Lời giải chi tiết :  Đặt tên như hình vẽ trên. Tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\) có \(MH \bot NP\) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(M{N^2} = N{H^2}.NP \Rightarrow {6^2} = x.8 \Rightarrow x = 36:8 = 4,5.\) Vậy \(x = 4,5.\) Câu hỏi 14 : Cho \(\tan \alpha = \dfrac{3}{4}\) . Giá trị biểu thức: \(M = \dfrac{{\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}\)
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Chia cả tử và mẫu của \(M\) cho \(\cos \alpha \) để xuất hiện \(\tan \alpha \) Thay \(\tan \alpha = \dfrac{3}{4}\) vào để tính \(M.\) Lời giải chi tiết : Vì \(\tan \alpha = \dfrac{3}{4}\) nên \(\cos \alpha \ne 0.\) Chia cả tử và mẫu của \(M\) cho \(\cos \alpha \) ta được \(M = \dfrac{{\left( {\sin \alpha - 2\cos \alpha } \right):\cos \alpha }}{{\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right):\cos \alpha }}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2}}{{\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 1}} = \dfrac{{\tan \alpha - 2}}{{\tan \alpha - 1}}\) Thay \(\tan \alpha = \dfrac{3}{4}\) vào \(M\) ta được \(M = \dfrac{{\dfrac{3}{4} - 2}}{{\dfrac{3}{4} - 1}} = 5.\) Câu hỏi 15 : Tìm \(x;y\) trong hình vẽ sau: 
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Phương pháp giải : Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC\) Lời giải chi tiết : Ta có \(BC = BH + HC = y + 32\) Áp dụng hệ thức lượng \(A{B^2} = BH.BC\) trong tam giác vuông \(ABC\) ta có \(\begin{array}{l}{30^2} = y\left( {y + 32} \right)\\ \Leftrightarrow {y^2} + 32y - 900 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} + 50y - 18y - 90 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y + 50} \right) - 18\left( {y + 50} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 18} \right)\left( {y + 50} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 18 = 0\\y + 50 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 18\left( N \right)\\y = - 50\,\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}\) Suy ra \(y = 18 \Rightarrow BC = 18 + 32 = 50\) Áp dụng hệ thức lượng \(A{C^2} = CH.BC\) ta có \({x^2} = 32.50 \Leftrightarrow {x^2} = 1600 \Rightarrow x = 40.\) Vậy \(x = 40;y = 18.\) Câu hỏi 16 : Tính số đo góc nhọn $x,$ biết: ${\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}$
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : Áp dụng hệ thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để biến đổi giả thiết Lời giải chi tiết : Ta có \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) \( \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\) Từ đó ${\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}$ \( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x = \dfrac{3}{2}\) \( \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) (do \(x\) là góc nhọn nên \(\cos x > 0\) ) Suy ra \(x = 30^\circ .\) Câu hỏi 17 : Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\) Biết $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7}$. Đường cao $AH = 15cm.$ Tính ${\rm{ }}HC.$
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Phương pháp giải : Đặt \(AB = 5a;AC = 7a\) \(\left( {a > 0} \right)\) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông một cách thích hợp để tìm \(HC.\) Lời giải chi tiết :  Vì \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow AB = 5a;AC = 7a\) với \(a > 0.\) Theo hệ thức lượng trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{15}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {5a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {7a} \right)}^2}}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{1}{{25{a^2}}} + \dfrac{1}{{49{a^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{{74}}{{1225{a^2}}} \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{666}}{{49}} \Rightarrow a = \dfrac{{3\sqrt {74} }}{7}\) Suy ra \(AB = \dfrac{{15\sqrt {74} }}{7};AC = 3\sqrt {74} \) Lại có \(AH.BC = AB.AC \Rightarrow BC = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}} = \dfrac{{222}}{7}\) Mà \(A{C^2} = CH.BC \Rightarrow HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}} = 21\,cm.\) Câu hỏi 18 : Cho \(\Delta ABC\) vuông tại $A,{\rm{ }}AB = {\rm{1}}2cm,{\rm{ }}AC = 16cm,$ tia phân giác $AD,$ đường cao $AH.$ Tính $HD.$
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính \(BD.\) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính \(BH\) Từ đó tính \(HD.\) Lời giải chi tiết :  Xét tam giác vuông \(ABC\) ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (định lý Pytago) Hay \(B{C^2} = {12^2} + {16^2} \Rightarrow B{C^2} = 400 \Rightarrow BC = 20\,cm\) Vì \(AD\) là phân giác góc \(A\) nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có \(\dfrac{{BD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{12}} = \dfrac{{DC}}{{16}} = \dfrac{{BD + DC}}{{12 + 16}} = \dfrac{{BC}}{{28}} = \dfrac{{20}}{{28}} = \dfrac{5}{7}\) Suy ra \(BD = 12.\dfrac{5}{7} = \dfrac{{60}}{7}\,cm\) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có \(A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{{12}^2}}}{{20}} = 7,2\,cm\) Lại có \(HD = BD - BH = \dfrac{{60}}{7} - 7,2 = \dfrac{{48}}{{35}}\,\,cm\) Câu hỏi 19 : Tính giá trị $C = {(3\sin \alpha + 4\cos \alpha )^2} + {\left( {4\sin \alpha - 3\cos \alpha } \right)^2}$
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Áp dụng hằng đẳng thức và đẳng thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) Lời giải chi tiết : Ta có $C = {(3\sin \alpha + 4\cos \alpha )^2} + {\left( {4\sin \alpha - 3\cos \alpha } \right)^2}$\( = 9{\sin ^2}\alpha + 24\sin \alpha .\cos \alpha + 16{\cos ^2}\alpha + 16{\sin ^2}\alpha - 24\sin \alpha \cos \alpha + 9{\cos ^2}\alpha \) \( = 25{\sin ^2}\alpha + 25{\cos ^2}\alpha = 25\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 25.1 = 25\) Vậy \(C = 25.\) Câu hỏi 20 : Cho biết $\tan \alpha = \dfrac{2}{3}$. Tính giá trị biểu thức: $M = \dfrac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }}$
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Phương pháp giải : Chia cả tử và mẫu của \(M\) cho \({\cos ^3}\alpha \) Thay $\tan \alpha = \dfrac{2}{3}$ để tính \(M.\) Lời giải chi tiết : Vì $\tan \alpha = \dfrac{2}{3}$ nên \(\cos \alpha \ne 0.\) Chia cả tử và mẫu của $M$ cho $\cos^3 \alpha$ ta được $M = \dfrac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }}$\( = \dfrac{{\dfrac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3\dfrac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{27\dfrac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - 25\dfrac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}} = \dfrac{{{{\tan }^3}\alpha + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha - 25}}\) Thay $\tan \alpha = \dfrac{2}{3}$ ta được \(M = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^3} + 3}}{{27.{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^3} - 25}} = \dfrac{{ - 89}}{{459}}.\) Câu hỏi 21 : Sắp xếp theo thứ tự tăng dần $\cot {70^0},{\rm{ tan}}\,{33^0},\cot {55^0},{\rm{ tan}}{28^0},{\rm{ cot}}{40^0}$
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : + Sử dụng mối quan hệ: “Hai góc phụ nhau thì cotang góc này bằng tan góc kia” để đưa về cùng giá trị lượng giác \(\tan .\) + So sánh: Với \(\alpha ;\beta \) là hai góc nhọn bất kì và thì \(\tan \alpha < \tan \beta .\) Lời giải chi tiết : Ta có \(\cot 70^\circ = \tan 20^\circ \) vì \(70^\circ + 20^\circ = 90^\circ \) ; \(\cot \,55^\circ = \tan 35^\circ \,\,\) vì \(55^\circ + 35^\circ = 90^\circ \) \(\cot 40^\circ = \tan 50^\circ \) vì \(40^\circ + 50^\circ = 90^\circ \) Lại có \(20^\circ < 28^\circ < 33^\circ < 35^\circ < 50^\circ \) hay \(\tan 20^\circ < \tan 28^\circ < \tan 33^\circ < \tan 35^\circ < \tan 50^\circ \) Suy ra \(\cot 70^\circ < \tan 28^\circ < \tan 33^\circ < \cot 55^\circ < \cot 40^\circ \) Câu hỏi 22 : Cho hình thang cân \(ABCD\,\,\,\left( {AB\parallel CD} \right);\) \(CD = 2AD = 2AB = 8\). Tính diện tích của hình thang đó.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : - Kẻ \(AH,\,\,BK\) cùng vuông góc với \(CD\) \(\left( {H,\,\,K \in CD} \right)\). Chứng minh \(ABKH\) là hình chữ nhật. - Tính \(DH,\,\,CK\). - Áp dụng định lí Pytago tính \(AH\). - Tính diện tích hình thang: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\). Lời giải chi tiết :
Kẻ \(AH,\,\,BK\) cùng vuông góc với \(CD\) \(\left( {H,\,\,K \in CD} \right)\). Xét tứ giác \(ABKH\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel HK\\AH\parallel BK\end{array} \right.\), suy ra \(ABKH\) là hình bình hành. Lại có \(\angle AHK = {90^0}\) nên \(ABKH\) là hình chữ nhật, do đó \(HK = AB = 4\). Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta BCK\) có: \(\angle AHD = \angle BKC = {90^0}\); \(AD = BC\) (tính chất hình thang cân); \(\angle ADH = \angle ACK\) (tính chất hình thang cân). \( \Rightarrow \Delta ADH = \Delta BCK\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow DH = CK\) (hai cạnh tương ứng). Mà \(DH + CK = CD - HK = 8 - 4 = 4\). Do đó \(DH = CK = 2\). Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ADH\) ta có: \(A{H^2} = A{D^2} - D{H^2}\) \( \Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12\) \( \Leftrightarrow AH = 2\sqrt 3 \). Vậy diện tích hình thang \(ABCD\) là: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\) \( = \dfrac{{\left( {4 + 8} \right).2\sqrt 3 }}{2} = 12\sqrt 3 \). Câu hỏi 23 : Cho hình thang vuông \(ABCD\) có hai đáy \(AB = 12\,cm,\,\,DC = 16\,\,cm,\) cạnh xiên \(AD = 8\,cm.\) Tính các góc và cạnh góc vuông của hình thang.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : Kẻ \(AH \bot CD = \left\{ H \right\},\,\,H \in CD.\) Sử dụng tính chất hình thang vuông, hình chữ nhật; định lý Pitago và hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tính. Lời giải chi tiết :
Kẻ \(AH \bot CD = \left\{ H \right\},\,\,H \in CD.\) Có hình thang vuông \(ABCD\) cạnh xiên \(AD \Rightarrow \angle ABC = \angle BCD = {90^o}.\) Dễ thấy \(ABCH\) là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) \( \Rightarrow HC = AB = 12\,cm\) \( \Rightarrow HD = DC - HC = 16 - 12 = 4\,\,(cm)\) Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta AHD\) vuông tại \(H\) ta có: \(\begin{array}{l}A{H^2} = A{D^2} - H{D^2} \Rightarrow AH = \sqrt {A{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {{8^2} - {4^2}} = 4\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right).\\ \Rightarrow BC = AH \approx 6,93\,\,cm\end{array}\) Xét \(\Delta AHD\) vuông tại \(H\) ta có: \(\cos \angle D = \dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle D = {60^o}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle DAH = {90^o} - \angle D = {30^o}\\ \Rightarrow \angle BAD = \angle BAH + \angle DAH = {90^o} + {30^o} = {120^o}.\end{array}\) Câu hỏi 24 : Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AB = AC = AD = 20\,\,cm,\,\,\angle B = {60^0}\) và \(\angle A = {90^0}.\) Kẻ \(BE \bot DC\) kéo dài.
Câu 24.1 Tính \(BE\)?
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Áp dụng định lý Pitago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn để làm bài toán. Lời giải chi tiết : Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) ta có: \(DB = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt 2 \,\,cm.\) Mà \(\Delta ABD\) có \(AB = AD = 20\,cm \Rightarrow \Delta ABD\) vuông cân tại\(A.\) \( \Rightarrow \angle ABD = \angle ADB = {45^0}\) (tính chất tam giác cân). Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC = 20\,cm\\\angle ABC = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều. \( \Rightarrow BC = 20\,cm;\,\,\,\angle BAC = \angle BCA = {60^0}.\) Lại có: \(AC = AD = 20\,\,cm \Rightarrow \Delta ACD\) cân tại \(A\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ACD = \angle ADC = \dfrac{{{{180}^0} - \angle CAD}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \left( {{{90}^0} - \angle BAC} \right)}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \left( {{{90}^0} - {{60}^0}} \right)}}{2} = {75^0}.\\ \Rightarrow \angle EDB = \angle ADC - \angle ADB = {75^0} - {45^0} = {30^0}.\end{array}\) Xét \(\Delta BED\) vuông tại \(E\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BE = BD.\sin \angle EDB = 20\sqrt 2 .\sin {30^0} = 20\sqrt 2 .\dfrac{1}{2} = 10\sqrt 2 \,\,cm.\\ED = BD.cos\angle EDB = 20\sqrt 2 .cos{30^0} = 20\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,cm.\end{array} \right.\) Câu 24.2 Tính \(CE.\)?
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Phương pháp giải : Áp dụng định lý Pitago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn để làm bài toán. Lời giải chi tiết : Áp dụng định lý Pitago cho\(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) ta có: \(\begin{array}{l}EC = \sqrt {B{C^2} - B{E^2}} = \sqrt {{{20}^2} - {{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2}} \\ = 10\sqrt 2 \,\,cm.\end{array}\) Câu 24.3 Tính \(CD\)?
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : Áp dụng định lý Pitago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn để làm bài toán. Lời giải chi tiết : Ta có: \( CD = ED - EC = 10\sqrt 6 - 10\sqrt 2 \)\(= 10\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\,\,\,cm \approx 10,35\,\,cm\) Câu hỏi 25 : Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB{\rm{ }} = {\rm{ 15}}cm;AC = 20cm\). Phân giác của góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(E\).
Câu 25.1 Giải tam giác \(ABC\)
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : Sử dụng định lý Py-ta-go, tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. Lời giải chi tiết : Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \( \Leftrightarrow B{C^2} = {15^2} + {20^2} = 625\)\( \Rightarrow BC = 25\) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(sinB = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{20}}{{25}} \Rightarrow \angle B \approx {53^0}8'\) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\angle B + \angle C = {90^0}\)\( \Leftrightarrow {53^0}8' + \angle C = {90^0}\)\( \Leftrightarrow \angle C \approx {36^0}52'\) Câu 25.2 Tính \(BE;CE\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : Sử dụng tính chất tia phân giác. Lời giải chi tiết : Vì \(AE\) là tia phân giác góc \(A\) nên ta có: \( \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{AB}} = \dfrac{{EC}}{{AC}} = \dfrac{{BE + EC}}{{AB + AC}}\)\( = \dfrac{{BC}}{{AB + AC}} = \dfrac{{25}}{{15 + 20}} = \dfrac{5}{7}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BE = \dfrac{5}{7}AB = \dfrac{5}{7}.15 = \dfrac{{75}}{7}\\EC = \dfrac{5}{7}AC = \dfrac{5}{7}.20 = \dfrac{{100}}{7}\end{array} \right..\) Câu hỏi 26 : Bạn An đang học vẽ hình bằng phần mềm máy tính. An vẽ hình một ngôi nhà với phần mái có dạng hình tam giác cân (hình vẽ bên). Biết góc tạo bởi phần mái và mặt phẳng nằm ngang là \({30^0}\), chiều dài mỗi bên dốc mái là \(3,5\,\,m.\) Tính gần đúng bề rộng của mái nhà.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : Áp dụng phương pháp tính cạnh trong tam giác vuông khi biết 1 góc và cạnh huyền. Lời giải chi tiết :
Ta vẽ lại mô hình mái nhà như hình vẽ bên. Theo đề bài cho ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) \(AB = AC = 3,5m\) và \(\angle B = \angle C = {30^0}\) Thì khi đó bề rộng mái nhà chính là độ dài cạnh \(BC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) \( \Rightarrow AM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta ABC\) (tính chất). Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\) ta có: \(\cos B = \dfrac{{BM}}{{AB}} \Rightarrow cos\,{30^0} = \dfrac{{BM}}{{3,5}} \Rightarrow BM = \cos \,{30^0}.3,5 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.3,5 = \dfrac{{7\sqrt 3 }}{4}\,\,\,\left( m \right).\) \( \Rightarrow BC = 2BM\dfrac{{7\sqrt 3 }}{2}\,\,\left( m \right) \approx 6,06\,\,m.\) Vậy bề rộng mái nhà là \(6,06\,m.\) Câu hỏi 27 : Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB{\rm{ }} = {\rm{ 6}}cm,{\rm{ }}AC{\rm{ }} = 4,5cm.\)
Câu 27.1 Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : Sử dụng định lý Pitago. Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác Từ tỉ số lượng giác suy ra số đo góc Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông : \(AH.BC = AB.AC\) Lời giải chi tiết : Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \( \Leftrightarrow B{C^2} = {6^2} + 4,{5^2} = 56,25\)\( \Rightarrow BC = 7,5\,\,cm.\) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(sinB = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{4,5}}{{7,5}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \angle B \approx {36^0}52'\) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\angle B + \angle C = {90^0} \Leftrightarrow {36^0}52' + \angle C = {90^0}\)\( \Leftrightarrow \angle C \approx {53^0}8'\) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có: \(AH.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow AH.7,5 = 4,5.6\)\( \Leftrightarrow AH = 3,6\) Câu 27.2 Tính diện tích của tam giác ABC.
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Sử dụng công thức tính diện tích tam giác Lời giải chi tiết : Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AH.BC = \dfrac{1}{2}.3,6.7,5 = 13,5\,\,c{m^2}.\) Câu hỏi 28 : Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\),\(\angle B = {35^0}\)và \(AB{\rm{ }} = {\rm{ 6}}cm\). Vẽ đường cao \(AH\) và trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\).
Câu 28.1 Giải tam giác vuông \(ABC\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C Phương pháp giải : Sử dụng công thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. Sử dụng tính chất hai góc phụ nhau. Lời giải chi tiết : Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: Câu 28.2 Tính diện tích \(\Delta AHM\)
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác. Lời giải chi tiết : Vì \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC \Rightarrow M\) là trung điểm \(BC\)\( \Rightarrow BM = MC = \dfrac{{BC}}{2} \approx 3,66\) Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) có đường cao \(AH\) ta có: \(AH.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow AH.7,32 = 6.4,2\)\( \Leftrightarrow AH \approx 3,44\) \(A{B^2} = BH.CB\)\( \Leftrightarrow {6^2} = BH.7,32\)\( \Leftrightarrow BH \approx 4,92\) Ta có: \(BM + MH = BH \Leftrightarrow MH = 4,92 - 3,66 \approx 1,26\) \({S_{\Delta AHM}} = \dfrac{1}{2}AH.MH \approx \dfrac{1}{2}.3,44.1,26 \approx 2,17\,\,\,\left( {đvdt} \right)\) Câu hỏi 29 : Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\)và đường trung tuyến \(AM\). Biết \(AH = 3cm;\,HB = 4cm.\) Hãy tính \(AB,AC,AM\) và diện tích tam giác \(ABC.\)
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính diện tích tam giác. Lời giải chi tiết :
+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có: Câu hỏi 30 : Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4cm,\,\,\,AC = 4\sqrt 3 ,\,\,BC = 8cm.\) Tính số đo \(\angle B,\,\,\angle C\) và độ dài đường cao \(AH\) của \(\Delta ABC.\)
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D Phương pháp giải : Áp dụng định lý Pitago đảo để chứng minh tam giác \(ABC\) vuông. Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và hệ thức lượng trong tam giác vuông để làm bài toán. Lời giải chi tiết :
+) Chứng minh tam giác \(ABC\) vuông. Ta có: \(A{B^2} = {4^2} = 16;\,\,A{C^2} = {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} = 48;\,\,B{C^2} = {8^2} = 64.\) \( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = 16 + 48 = 64 = B{C^2}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lý Pitago đảo). +) Tính số đo \(\angle B,\,\,\angle C\) và độ dài đường cao \(AH\) của \(\Delta ABC.\) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong \(\Delta ABC\) ta có: \(\begin{array}{l}\cos \angle B = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle B = {60^0}\\ \Rightarrow \angle C = {180^0} - \angle B - \angle A = {180^0} - {60^0} - {90^0} = {30^0}.\end{array}\) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại\(A\) và có đường cao \(AH\) ta có: \(AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{4.4\sqrt 3 }}{8} = 2\sqrt 3 \,\,cm.\) Vậy \(\angle B = {60^0},\,\,\,\angle C = {30^0},\,\,\,AH = 2\sqrt 3 \,\,cm.\) Câu hỏi 31 : Cho \(\Delta MNP\) vuông tại\(M\) có đường cao \(MH.\) Gọi \(I,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên \(MN,\,\,MP.\) Biết \(HK = 9\,cm,\,\,\,HI = 6\,cm.\) Khi đó tính độ dài các cạnh của \(\Delta MNP.\)
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : Chứng minh tứ giác \(MKHI\) là hình chữ nhật từ đó ta tính được độ dài \(AH\) theo định lý Pitago. Sử dụng các công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông điểm tìm các cạnh đề bài yêu cầu. Lời giải chi tiết :
Xét tứ giác \(MIHK\) ta có: \(\angle M = \angle I = \angle K = {90^0}\) \( \Rightarrow MIHK\) là hình chữ nhật (dhnb). \( \Rightarrow HI = MK = 6\,cm.\) Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta MHK\) vuông tại \(K\) ta có: \(M{H^2} = H{K^2} + M{K^2} = {6^2} + {9^2} = 117 \Rightarrow MH = \sqrt {117} .\) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta MHP\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HK\) ta có: \(M{H^2} = MK.MP \Rightarrow MP = \dfrac{{M{H^2}}}{{MK}} \)\(= \dfrac{{117}}{6} = 19,5\,cm.\) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta MHN\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HI\) ta có: \(M{H^2} = MI.MN \Rightarrow MN = \dfrac{{M{H^2}}}{{MI}}\)\( = \dfrac{{117}}{9} = 13\,cm.\) Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta MNP\) vuông tại \(N\) ta có: \(NP = \sqrt {M{N^2} + M{P^2}} = \sqrt {{{13}^2} + 19,{5^2}}\)\( = \dfrac{{13\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.\) Vậy\(MN = 13\,\,cm,\,\,MP = 19,5\,\,cm,\,\,NP = \dfrac{{13\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.\) Câu hỏi 32 : Cho đoạn thẳng $AB = 2a$ và trung điểm $O$ của nó. Trên nửa mặt phẳng bờ $AB$ vẽ các tia $Ax,By\;$ vuông góc với $AB.$ Qua \(O\) vẽ một tia cắt tia \(Ax\) tại $M$ sao cho $\widehat {AOM} = \alpha < {90^0}$ . Qua $O$ vẽ tia thứ hai cắt tia $By$ tại $N$ sao cho \(\widehat {MON} = 90^\circ \) . Khi đó, diện tích tam giác \(MON\) là
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Phương pháp giải : Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông Lời giải chi tiết :  Theo đề bài ta có: \(AB = 2a \Rightarrow OA = OB = a\) Ta có: \(\widehat {ONB} = \widehat {AOM} = \alpha \) (cùng phụ với \(\widehat {BON}\) ) Xét \(\Delta AOM\) có \(\widehat A = 90^\circ \) \(OA = OM.\cos \alpha \Rightarrow OM = \dfrac{a}{{\cos \alpha }}\) \(OB = ON.\sin \alpha \Rightarrow ON = \dfrac{a}{{\sin \alpha }}\) Câu hỏi 33 : Cho tam giác \(ABC\)có diện tích là \(900\,c{m^2}.\) Điểm \(D\) ở giữa \(BC\)sao cho \(BC = 5DC,\) điểm \(E\) ở giữa \(AC\)sao cho \(AC = 4AE,\) hai điểm \(F,G\) ở giữa \(BE\) sao cho \(BE = 6GF = 6GE.\) Tính diện tích tam giác \(DGF.\)
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B Phương pháp giải : Sử dụng tỉ số diện tích giữa hai tam giác. Lời giải chi tiết :
Ta kí hiệu: \(d(A;BC)\) là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC (nghĩa là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ A đến BC), tương tự với những kí hiệu khác trong bài. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta DFG}} = \dfrac{1}{2}d\left( {D;\,\,FG} \right).FG\\{S_{\Delta DEB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {D;\,\,FG} \right).BE\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta DFG}}}}{{{S_{\Delta DEB}}}} = \dfrac{{FG}}{{BE}} = \dfrac{1}{6}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta DFG}} = \dfrac{1}{6}{S_{\Delta DEB}}.\) \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta DEB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {D;\,\,BE} \right).BE\\{S_{\Delta BEC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {C;\,\,BE} \right).BE\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta DEB}}}}{{{S_{\Delta BEC}}}} = \dfrac{{d\left( {D;\,\,BE} \right)}}{{d\left( {C;\,\,BE} \right)}} = \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{4}{5}\)\( \Rightarrow {S_{\Delta DEB}} = \dfrac{4}{5}{S_{\Delta BEC}}.\) \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta BEC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {B;\,\,EC} \right).EC\\{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {B;\,\,AC} \right).AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta BEC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{EC}}{{AC}} = \dfrac{3}{4}\)\( \Rightarrow {S_{\Delta BEC}} = \dfrac{3}{4}{S_{\Delta ABC}}.\) \( \Rightarrow {S_{\Delta DFG}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{3}{4}.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{{10}}.900 = 90\,c{m^2}.\) Câu hỏi 34 : Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính \(A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\).
Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A Lời giải chi tiết :  Ta có: \(\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}B = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}}\) \(\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}C = \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\;\;\) \(\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}} \); \( \tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) Vậy \(A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\;\) \( = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} - \dfrac{{AC}}{{AB}}.\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} - 1\) \( = \dfrac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} - 1 = 0\) (vì theo định lý Pytago thì \(A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}\) )
|
