Trắc nghiệm Bài 10: Diện tích hình tròn, quạt tròn Toán 9

Làm bài tập
Câu hỏi 1 :

Một hình tròn có diện tích \(S = 144\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\) . Bán kính của hình tròn đó là:

  • A

    $15\,\left( {cm} \right)$

  • B

    $16\,\left( {cm} \right)$

  • C

    $12\,\left( {cm} \right)$

  • D

    $14\,\left( {cm} \right)$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ là \(S = \pi {R^2}.\)

Lời giải chi tiết :

Diện tích \(S = \pi {R^2} = 144\pi  \Leftrightarrow {R^2} = 144 \Leftrightarrow R = 12\,\left( {cm} \right)\).

Câu hỏi 2 :

Diện tích hình tròn bán kính \(R = 10\,cm\) là

  • A

    $100\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$

  • B

    $10\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

  • C

    $20\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

  • D

    $100{\pi ^2}\,\left( {c{m^2}} \right)$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ là \(S = \pi {R^2}.\)

Lời giải chi tiết :

Diện tích \(S = \pi {R^2} = \pi {.10^2} = 100\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\).

Câu hỏi 3 :

Cho đường tròn $\left( {O,10\,cm} \right)$, đường kính $AB.$. Điểm \(M \in (O)\) sao cho \(\widehat {BAM} = {45^0}\).  Tính diện tích hình quạt $AOM$ .

  • A

    \(5\pi (c{m^2})\)

  • B

    \(25\pi (c{m^2})\)

  • C

    \(50\pi (c{m^2})\)

  • D

    \(\dfrac{{25}}{2}\pi (c{m^2})\)

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn có bán kính $R$ với góc ở tâm \({n^0}\): \({S_q} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{lR}}{2}.\)

Lời giải chi tiết :

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có:

\(\left\{ \begin{array}{l}OA = OM\\\widehat {MAO} = {45^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta AOM\) là tam giác vuông cân.

\( \Rightarrow \widehat {MOA} = {90^0}.\)

Vậy diện tích hình quạt $AOM$   là \(S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{.10}^2}.90}}{{360}} = 25\pi (c{m^2})\)

Câu hỏi 4 :

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB = $ \(4\sqrt 3 \) $cm$ .

Điểm \(C \in (O)\) sao cho \(\widehat {ABC} = {30^0}\). Tính diện tích hình viên phân$AC$ . (Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy).

  • A

    \(\pi  - 3\sqrt 3 \) $ cm^2$

  • B

    \(2\pi  - 3\sqrt 3 \) $ cm^2$

  • C

    \(4\pi  - 3\sqrt 3 \) $ cm^2$

  • D

    \(2\pi  - \sqrt 3 \) $ cm^2$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính diện tích hình viên phân.

\({S_{vp\,AC}} = {S_{qAOC}} - {S_\Delta }_{AOC}\)

Lời giải chi tiết :

Xét đường tròn $(O)$ có:

\(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {AOC}\)   là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung$AC$  \( \Rightarrow \widehat {AOC} = 2.\widehat {ABC} = {2.30^0} = {60^0}\)\( \Rightarrow {S_{qAOC}} = \dfrac{{\pi {R^2}.60}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{6}\)

Xét  \(\Delta AOC\) có   \(\widehat {AOC} = {60^\circ }\)  và $OA=OC=R$ nên tam giác $AOC$ đều cạnh bằng $R$ .

Gọi $CH$ là đường cao của tam giác $AOC$ , ta có:

\(CH = CO.\sin {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.R \Rightarrow {S_{AOC}} = \dfrac{1}{2}CH.OA = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.R.R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.{R^2}.\)

Diện tích hình viên phân $AC$ là:

\({S_{qAOC}} - {S_{AOC}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{6} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.{R^2} = \left( {\dfrac{\pi }{6} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right).{R^2} \)

\(= \left( {\dfrac{{2\pi  - 3\sqrt 3 }}{{12}}} \right).{\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} \)

\(= 2\pi  - 3\sqrt 3 \, cm^2.\)

Câu hỏi 5 :

Cho hình vuông có cạnh là $5\,cm$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Hãy tính diện tích hình tròn $\left( O \right)$.

  • A

    $\dfrac{{25\pi }}{4}\,\left( {c{m^2}} \right)$

  • B

    $\dfrac{{25\pi }}{3}\,\left( {c{m^2}} \right)$

  • C

    $\dfrac{{15\pi }}{2}\,\left( {c{m^2}} \right)$

  • D

    $\dfrac{{25\pi }}{2}\,\left( {c{m^2}} \right)$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính diện tích hình tròn \(S = \pi {R^2}.\)

Lời giải chi tiết :

Gọi hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) khi đó $OA = OB = OC = OD = R \Rightarrow O$ là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) \( \Rightarrow R = \dfrac{{AC}}{2}.\)

Xét tam giác vuông \(ABC\) ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {5^2} + {5^2} = 50 \Rightarrow AC = 5\sqrt 2 \) \( \Rightarrow R = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Diện tích hình tròn \(\left( O \right)\) là $S = \pi {R^2} = \dfrac{{25\pi }}{2}\,\left( {c{m^2}} \right).$ 

Câu hỏi 6 :

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính \(AB = 2\sqrt 2 \;cm\). Điểm \(C \in (O)\) sao cho \(\widehat {ABC} = {30^0}\).  Tính diện tích hình giới hạn bởi đường tròn $\left( O \right)$ và $AC,BC$ .

  • A

    \(\pi  - \sqrt 3 \)

  • B

    \(2\pi  - 2\sqrt 3 \)

  • C

    \(\pi  - 3\sqrt 3 \)

  • D

    \(2\pi  - \sqrt 3 \)

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A

Phương pháp giải :

Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn $\left( O \right)$ và $AC,BC$ là: \(S = \dfrac{1}{2}{S_{(O)}} - {S_{ABC}}\)

Lời giải chi tiết :

Diện tích hình tròn $\left( O \right)$ là: \({S_{(O)}} = \pi {R^2}\)

Ta có góc \(\widehat {ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \widehat {ACB} = {90^0}\)\( \Rightarrow \widehat {BAC} = {90^0} - \widehat {CBA} = {90^0} - {30^0} = {60^0}.\)

Tam giác $AOC$ có \(\widehat {CAO} = {60^\circ }\)  và  $OA = OC = R$  nên tam giác $AOC$ đều cạnh bằng $R$ .

Giả sử $CH$ là đường cao của tam giác $ABC$ , ta có:

\(CH = CO.\sin {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.R \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}CH.AB\)

$= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}R.2R$

\(= \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{R^2}.\)

Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn $\left( O \right)$ và $AC,BC$ là:

$\dfrac{1}{2}{S_{(O)}} - {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\pi {R^2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{R^2} = \dfrac{1}{2}\left( {\pi  - \sqrt 3 } \right){R^2} = \dfrac{1}{2}\left( {\pi  - \sqrt 3 } \right){\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = \pi  - \sqrt 3 .$

Câu hỏi 7 :

Một hình quạt có chu vi bằng \(28\,(cm)\) và diện tích bằng \(49\,(c{m^2})\). Bán kính của hình quạt bằng? 

  • A

    \(R = 5\,(cm)\)

  • B

    \(R = 6\,(cm)\)

  • C

    \(R = 7\,(cm)\)

  • D

    \(R = 8\,(cm)\)

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn có bán kính $R$ với góc ở tâm \({n^0}\): \(Sq = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{lR}}{2}.\)

Sử dụng công thức tính chu vi hình quạt \(C = l + 2R\) với $l$ là độ dài cung có số đo $n$ độ.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{lR}}{2} = 49\\l + 2R = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}lR = 98\\l + 2R = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}l.2R = 196\\l + 2R = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2R = 14\\l = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = 7\\l = 14\end{array} \right.\) .

Vậy  \(R = 7(cm)\)

Câu hỏi 8 :

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một điểm $M$ sao cho $OM = 2R$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MA,MB$ với đường tròn $(A,B$ là các tiếp điểm ). Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến $AM,MB$ và cung nhỏ $AB.$

  • A

    \(\dfrac{\pi }{3}{R^2}\)

  • B

    \(\sqrt 3 {R^2}\)

  • C

    \({R^2}\left( {\sqrt 3  + \dfrac{\pi }{3}} \right)\)

  • D

    \({R^2}\left( {\sqrt 3  - \dfrac{\pi }{3}} \right)\)

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : D

Phương pháp giải :

Diện tích hình giới hạn bởi cung nhỏ $AB$ và $AM,MB$ là: \(S = {S_{OAMB}} - {S_{q\,AB}}\)

Lời giải chi tiết :

Xét \(\Delta OAM\) có \(AM = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}}  = R\sqrt 3  \Rightarrow {S_{OAM}} = \dfrac{{OA.AB}}{2} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \(\Delta OAM = \Delta OBM\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow {S_{OAMB}} = 2{S_{OAM}} = \sqrt 3 {R^2}\)

Xét \(\Delta OAM\) có \(\cos \widehat {AOM} = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{1}{2} \)

\(\Rightarrow \widehat {AOM} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {AOB} = 120^\circ \)

Diện tích quạt tròn \({S_{q\,AB}} = \dfrac{{\pi {R^2}.120}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3}\)

Diện  tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến $AM,MB$ và cung nhỏ $AB$

\(S = {S_{OAMB}} - {S_{q\,AB}} = \sqrt 3 {R^2} - \dfrac{{\pi {R^2}}}{3} = {R^2}\left( {\sqrt 3  - \dfrac{\pi }{3}} \right).\) 

Câu hỏi 9 :

Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Độ dài của các cung \(AB,BC,CA\) đều bằng \(4\pi \). Diện tích của tam giác đều \(ABC\) là:

  • A

    \(27\sqrt 3 \) $cm^2$

  • B

    \(7\sqrt 3 \) $cm^2$

  • C

    \(29\sqrt 3 \) $cm^2$

  • D

    \(9\sqrt 3 \) $cm^2$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : A

Phương pháp giải :

+ Áp dụng công thức tính chu vi hình tròn

+ Tính chất của tam giác cân

+ Sử dụng định lý Pitago

+ Sử dụng công thức tính diện tích tam giác

Lời giải chi tiết :

Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\).  Độ dài của các cung \(AB,BC,CA\) đều bằng \(4\pi \) nên ta có \(C = 2\pi R = 4\pi  + 4\pi  + 4\pi  = 12\pi \), suy ra \(R = 6\) hay \(OA = OB = OC = 6\)

Ta cũng có  \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COA} = {120^0}\) suy ra \(\Delta AOB = \Delta AOC = \Delta BOC = \dfrac{1}{3}\Delta ABC\)

Xét tam giác \(AOC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = {30^0}\\\widehat {COA} = {120^0}\end{array} \right.\)

Kẻ đường cao$OE$ , ta có đồng thời là đường trung tuyến, phân giác của góc \(\widehat {COA}\) . Ta có  \(\widehat {AOE} = \widehat {COE} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOC}\)      

Xét tam giác $COE$ có:       \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {ECO} = {30^0}\\\widehat {CEO} = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}CO = \dfrac{R}{2}\)  

Áp dụng định lý Pytago ta có: \(CE = \sqrt {O{C^2} - O{E^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{R}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}R\)      

Vậy \({S_{COE}} = \dfrac{1}{2}OE.CE = \dfrac{1}{2}.\dfrac{R}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 {R^2}}}{8}\) 

Suy ra   \({S_{COA}} = 2{S_{COE}} = \dfrac{{\sqrt 3 {R^2}}}{4}\) và   \({S_{ABC}} = 3{S_{COA}} = \dfrac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{4} = 27\sqrt 3 \,\ cm^2 .\) 

Câu hỏi 10 :

Cho $A,B,C,D$ là $4$ đỉnh của hình vuông có cạnh là \(a\). Tính diện tích của hình hoa $4$  cánh giới hạn bởi các đường tròn có bán kính bằng \(a\), tâm là các đỉnh của hình vuông.

  • A

    $S = \left( {\pi  + 2} \right){a^2}$ 

  • B

    $S = 2\left( {\pi  + 2} \right){a^2}$ 

  • C

    $S = \left( {\pi  - 2} \right){a^2}$ 

  • D

    $S = 2\left( {\pi  - 2} \right){a^2}$

Đáp án của giáo viên Xem Lời Giải : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính diện tích cung tròn: \(S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}}.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có diện tích của hình hoa cần tình băng $4$  lần diện tích của hình viên phân$AC$: \(S = 4{S_{vp\;AC}}.\)

Có: \({S_{vp\;AC}} = {S_{cung\;AC}} - {S_{ADC}} = \dfrac{{\pi {R^2}{{.90}^0}}}{{{{360}^0}}} - \dfrac{1}{2}{R^2} = \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{1}{2}} \right){R^2} = \dfrac{{\pi  - 2}}{4}{a^2}\) \( \Rightarrow S = 4{S_{vp\;AC}} = 4.\dfrac{{\pi  - 2}}{4}{a^2} = \left( {\pi  - 2} \right){a^2}.\) 

close