Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều1, Giới hạn hữu hạn của dãy số Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Cánh diều (mới) Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác 1, Giới hạn hữu hạn của dãy số - Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) hay \({u_n} \to 0\) khi \(n \to + \infty \) hay \(\lim {u_n} = 0\). - Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to + \infty \)hay \(\lim {u_n} = a\). * Chú ý: Nếu \({u_n} = c\) (c là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = c\) 2. Một số giới hạn cơ bản + \(\lim \frac{1}{n} = 0,\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0,k \in \mathbb{Z}.\) + \(\lim \frac{c}{n} = 0,\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0,k \in \mathbb{Z}\), c là hằng số. + Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\) + \(\lim {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e\) 3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số a, Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\) b, Nếu \({u_n} \ge 0\) thì với mọi n và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \). 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân lùi vô hạn \({u_1},{u_1}q,...,{u_1}{q^{n - 1}},...\) có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| < 1} \right)\) 4. Giới hạn vô cực - Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( + \infty \)khi \(n \to + \infty \) nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \) hay \({u_n} \to + \infty \) khi \(n \to + \infty \). - Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( - \infty \)khi \(n \to + \infty \) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = - \infty \) hay \({u_n} \to - \infty \) khi \(n \to + \infty \). *Nhận xét:
|