Giải mục 2 trang 90, 91 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

Cho 3 vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) được biểu diễn như hình 9. Hãy hoàn thành các phép cộng vectơ sau và so sánh kết quả tìm được:

a) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = ?\)

\(\overrightarrow b + \overrightarrow a = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EC} = ?\)

b) \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = ?\)

\(\overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = ?\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm: \( \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \);

Bước 2: So sánh các vectơ vừa tìm được

Lời giải chi tiết:

a) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \);

\(\overrightarrow b + \overrightarrow a = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EC} = \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \)

b) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\)

Thực hành 3

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ sau:

a) \(\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} ;\)

b) \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} .\) 

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ \(\overrightarrow 0 \) tìm tổng các vectơ

Bước 2: Tính độ dài vectơ vừa tìm đc, độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\left| 

Lời giải chi tiết:

a) \(\begin{array}{l}\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD}\\ \Rightarrow |{\overrightarrow a}|= \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 1\end{array}\)

b) \(\begin{array}{l}\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {AC} \end{array}\)

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \)

\(\Rightarrow |{\overrightarrow a}|= \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 2 \)