Giải mục 1 trang 66, 67, 68, 69 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh DiềuXét hàm số (fleft( x right) = 2x.) a) Xét dãy số (left( {{x_n}} right),) với ({x_n} = 1 + frac{1}{n}.) Hoàn thành bảng giá trị (fleft( {{x_n}} right)) tương ứng. Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Cánh diều (mới) Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn Hoạt động 1 Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x.\) a) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right),\) với \({x_n} = 1 + \frac{1}{n}.\) Hoàn thành bảng giá trị \(f\left( {{x_n}} \right)\) tương ứng.
Các giá trị tương ứng của hàm số \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),...\) lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right).\) Tìm \(\lim f\left( {{x_n}} \right).\) b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì \(\left( {{x_n}} \right),{x_n} \to 1\) ta luôn có \(f\left( {{x_n}} \right) \to 2.\) Phương pháp giải: Sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn kết hợp với một số giới hạn cơ bản. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\) Lời giải chi tiết: a,
\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2.\frac{{n + 1}}{n}} \right) = \lim 2.\lim \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = 2.\left( {1 + 0} \right) = 2\) b) Lấy dãy số bất kì \(\left( {{x_n}} \right),{x_n} \to 1\) ta có \(f\left( {{x_n}} \right) = 2{x_n}.\) \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2{x_n}} \right) = \lim 2.\lim {x_n} = 2.1 = 2\) Luyện tập, vận dụng 1 Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4.\) Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Cho khoảng K chứa điểm \({x_0}\)và hàm số \(f(x)\)xác định trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to L\) Lời giải chi tiết: Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \(\lim {x_n} = 2.\) Ta có \(\lim x_n^2 = {2^2} = 4\) Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4.\) Hoạt động 2 Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 1,g\left( x \right) = x + 1.\) a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\) b) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\) c) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\) d) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\) e) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\)và so sánh \(\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}.\) Phương pháp giải: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\) Lời giải chi tiết: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = {1^2} - 1 = 0\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = 1 + 1 = 2\) b) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x} \right) = {1^2} + 1 = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0 + 2 = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\end{array}\) c) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - x - 2} \right) = {1^2} - 1 - 2 = - 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0 - 2 = - 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\end{array}\) d) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right) = {1^3} + {1^2} - 1 - 1 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0.2 = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\end{array}\) e) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 1} \right) = 1 - 1 = 0\\\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}} = \frac{0}{2} = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}.\end{array}\) Luyện tập, vận dụng 2 Tính: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right];\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} + x + 3} .\) Phương pháp giải: Sử dụng định lí về phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\)\(\left( {L,M \in \mathbb{R}} \right)\)thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)\) Nếu \(f(x) \ge 0\)với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \). Lời giải chi tiết: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 2x} \right) = \left( {2 + 1} \right).\left( {{2^2} + 2.2} \right) = 24\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} + x + 3} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + x + 3} \right)} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3} = \sqrt {{2^2} + 2 + 3} = 3\) Hoạt động 3 Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1,\,\,x < 0\\0,\,\,x = 0\\1,\,\,x > 0\end{array} \right.\) Hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị ở Hình 6.
a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} < 0\) và \(\lim {u_n} = 0.\) Xác định \(f\left( {{u_n}} \right)\) và tìm \(\lim f\left( {{u_n}} \right).\) b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) sao cho \({v_n} > 0\) và \(\lim {v_n} = 0.\) Xác định \(f\left( {{v_n}} \right)\) và tìm \(\lim f\left( {{v_n}} \right).\) Phương pháp giải: Quan sát đồ thị hình 6 để trả lời câu hỏi. Lời giải chi tiết: a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} < 0\) và \(\lim {u_n} = 0.\) Khi đó \(f\left( {{u_n}} \right) = - 1\) và \(\lim f\left( {{u_n}} \right) = - 1.\) b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) sao cho \({v_n} > 0\) và \(\lim {v_n} = 0.\) Khi đó \(f\left( {{v_n}} \right) = 1\) và \(\lim f\left( {{v_n}} \right) = 1.\) Luyện tập, vận dụng 3 Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4} + x} \right)\) Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một phía. - Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\)khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L\). - Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Số L là giới hạn bên của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\). Lời giải chi tiết: Với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì \({x_n} > - 4\) và \({x_n} \to - 4,\) ta có: \(\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} \left( {\sqrt {{x_n} + 4} + {x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} \sqrt {{x_n} + 4} + \mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} {x_n} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} \left( {{x_n} + 4} \right)} + \left( { - 4} \right)\\ = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} {x_n} + 4} - 4 = \sqrt { - 4 + 4} - 4 = - 4\end{array}\) Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4} + x} \right) = - 4\)
|