Giải mục 1 trang 40, 41 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức

HĐ1

Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ (H.3.1)

a) Tìm tọa độ các giao điểm của elip với các trục tọa độ

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm $M({x_0};{y_0})$ thuộc elip thì các điểm có tọa độ $({x_0}; - {y_0}),( - {x_0};{y_0}),( - {x_0}; - {y_0})$ cũng thuộc Elip.

c) Với điểm $M({x_0};{y_0})$ thuộc elip, hãy so sánh $O{M^2}$ với ${a^2},{b^2}$

Lời giải chi tiết:

a)

$y = 0 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow x = \pm a$

Giao điểm của elip với Ox là ${A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right).$

$x = 0 \Rightarrow \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow y = \pm b$

Giao điểm của elip với Oy là ${B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).$

b) Nếu điểm $M({x_0};{y_0})$ thuộc elip thì $\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1$

$\Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1$

hay các điểm có tọa độ $({x_0}; - {y_0}),( - {x_0};{y_0}),( - {x_0}; - {y_0})$ cũng thuộc Elip.

c) Từ H.3.1 dễ thấy $a > b$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} \le \frac{{{x_0}^2}}{{{b^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{a^2}}} \le 1 \le \frac{{{x_0}^2}}{{{b^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}}\\ \Leftrightarrow {b^2} \le {x_0}^2 + {y_0}^2 \le {a^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} \le O{M^2} \le {a^2}\end{array}$

Luyện tập 1

Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Trong đó:

+ Độ dài trục lớn: $2a$

+ Tiêu cự: $2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+ Độ dài trục lớn: $2a = 10 \Rightarrow a = 5$

+ Tiêu cự: $2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} = 6 \Rightarrow \sqrt {{5^2} - {b^2}} = 3 \Rightarrow {b^2} = 16$

Phương trình chính tắc của elip là: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$

Luyện tập 2

(Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phương trình ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ và số k $(0 < k < 1)$. Với mỗi điểm $M({x_0};{y_0})$ thuộc đường tròn, gọi $H({x_0};0)$ là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho $HN = kHM$ (H.3.5)

a) Tính tọa độ của N theo ${x_0};{y_0};k.$

b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên Elip có phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{(ka)}^2}}} = 1$

Lời giải chi tiết:

Gọi $N({x_N};{y_N})$.

N thuộc đoạn MH và $HN = kHM \Rightarrow \overrightarrow {HN} = k\overrightarrow {HM}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow ({x_N} - {x_0};{y_N}) = k(0;{y_0})\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_0} = k.0\\{y_N} = k.{y_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = {x_0}\\{y_N} = k.{y_0}\end{array} \right.\end{array}$

Vì $M({x_0};{y_0})$ thuộc (C) ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ nên

${x_0}^2 + {y_0}^2 = {a^2} \Leftrightarrow {x_N}^2 + {\left( {\frac{{{y_N}}}{k}} \right)^2} = {a^2} \Leftrightarrow \frac{{{x_N}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_N}^2}}{{{{(ka)}^2}}} = 1$

Vậy N thuộc Elip có phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{(ka)}^2}}} = 1$