Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 44 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Câu 1

Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} - 2$. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm $M\left( { - 1; - 6} \right)$ có hệ số góc bằng:

A. 18

B. $- 3$

C. 7

D. 9

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:

Đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến ${M_0}T$ với đồ thị (C) của hàm số tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$.

Tiếp tuyến ${M_0}T$ có phương trình là: $y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y' = 3{x^2} + 6x$

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm $M\left( { - 1; - 6} \right)$ là: $y'\left( { - 1} \right) = 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 6.\left( { - 1} \right) = 3 - 6 = - 3$

Chọn B

Quảng cáo

Câu 2

Hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$ có đạo hàm tại $x = - 1$ bằng

A. 0

B. 6

C. $- 6$

D. $- 1$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về các quy tắc tính đạo hàm để tính: $\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right),c' = 0$ với c là hằng số. 

Lời giải chi tiết:

$y' = \left( {{x^3} - 3x + 1} \right)' = 3{x^2} - 3$ nên $y'\left( { - 1} \right) = 3.{\left( { - 1} \right)^2} - 3 = 0$

Chọn A.

Câu 3

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = 3{x^3} - 3{x^2} + 6x - 1$ và $g\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 2$. Bất phương trình $f''\left( x \right) - f'\left( x \right) + g'\left( x \right) - 8 \ge 0$ có tập nghiệm là

A. $\left( {1;\frac{{10}}{3}} \right)$

B. $\left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {\frac{{10}}{3}; + \infty } \right)$

C. $\left[ {1;\frac{{10}}{3}} \right]$

D. $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{{10}}{3}; + \infty } \right)$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm cấp hai của hàm số: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại mọi $x \in \left( {a;b} \right)$ thì ta có hàm số $y' = f'\left( x \right)$ xác định trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu hàm số $y' = f'\left( x \right)$ lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của $y'$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại x và kí hiệu là $y''$ hoặc $f''\left( x \right)$.

+ Sử dụng kiến thức về các quy tắc tính đạo hàm để tính: $\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right),c' = 0$ với c là hằng số.

Lời giải chi tiết:

$f'\left( x \right) = 9{x^2} - 6x + 6,f''\left( x \right) = 18x - 6,g'\left( x \right) = 3{x^2} + 2x$

Do đó, $f''\left( x \right) - f'\left( x \right) + g'\left( x \right) - 8 \ge 0$

$\Leftrightarrow 18x - 6 - 9{x^2} + 6x - 6 + 3{x^2} + 2x - 8 \ge 0$

$\Leftrightarrow - 6{x^2} + 26x - 20 \ge 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 13x + 10 \le 0$

$\Leftrightarrow \left( {3x - 10} \right)\left( {x - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le \frac{{10}}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left[ {1;\frac{{10}}{3}} \right]$

Chọn C

Câu 4

Hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{3x + 2}}$ có đạo hàm là

A. $y' = - \frac{1}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}$

B. $y' = - \frac{7}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}$

C. $y' = \frac{1}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}$

D. $y' = \frac{7}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về các quy tắc tính đạo hàm để tính: ${\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)$

Lời giải chi tiết:

$y' = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{3x + 2}}} \right)'} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)'\left( {3x + 2} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)'}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {3x + 2} \right) - 3\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}$

$= \frac{{6x + 4 - 6x + 3}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}} = \frac{7}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}$

Chọn D

Câu 5

Hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$ có đạo hàm cấp hai tại $x = 1$ là

A. $y''\left( 1 \right) = \frac{1}{4}$

B. $y''\left( 1 \right) = - \frac{1}{4}$

C. $y''\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$

D. $y''\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm cấp hai của hàm số: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại mọi $x \in \left( {a;b} \right)$ thì ta có hàm số $y' = f'\left( x \right)$ xác định trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu hàm số $y' = f'\left( x \right)$ lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của $y'$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại x và kí hiệu là $y''$ hoặc $f''\left( x \right)$.

+ Sử dụng một số quy tắc tính đạo hàm: ${\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)$

Lời giải chi tiết:

$y' = {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {x - 1} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{x + 1 - x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

$y'' = {\left[ {\frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right]'} = \left[ {2{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 2}}} \right]' = - 4{\left( {x + 1} \right)^{ - 3}}\left( {x + 1} \right)' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$

Do đó, $y''\left( 1 \right) = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^3}}} = - \frac{1}{2}$

Chọn D

Câu 6

Hàm số $y = {3^{{x^2} + 1}}$ có đạo hàm là

A. $\left( {{x^2} + 1} \right){3^{{x^2}}}$

B. $\left( {{x^2} + 1} \right){3^{{x^2} + 1}}\ln 3$

C. $2x{3^{{x^2} + 1}}\ln 3$

D. ${3^{{x^2} + 1}}$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số $u = g\left( x \right)$ có đạo hàm tại x là $u_x'$ và hàm số $y = f\left( u \right)$ có đạo hàm tại u là $y_u'$ thì hàm hợp $y = f\left( {g\left( x \right)} \right)$ có đạo hàm tại x là $y_x' = y_u'.u_x'$.

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tính: ${\left\{ {{{\left[ {u\left( x \right)} \right]}^\alpha }} \right\}'} = \alpha {\left[ {u\left( x \right)} \right]^{\alpha - 1}}\left[ {u\left( x \right)} \right]'$, $\left( {{a^{u\left( x \right)}}} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'{a^{u\left( x \right)}}\ln a\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$

Lời giải chi tiết:

$y' = {\left( {{3^{{x^2} + 1}}} \right)'} = \left( {{x^2} + 1} \right)'{3^{{x^2} + 1}}\ln 3 = 2x{.3^{{x^2} + 1}}\ln 3$

Chọn C

Câu 7

Hàm số $y = \ln \left( {\cos x} \right)$ có đạo hàm là

A. $\frac{1}{{\cos x}}$

B. $- \tan x$

C. $\tan x$

D. $\cot x$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số $u = g\left( x \right)$ có đạo hàm tại x là $u_x'$ và hàm số $y = f\left( u \right)$ có đạo hàm tại u là $y_u'$ thì hàm hợp $y = f\left( {g\left( x \right)} \right)$ có đạo hàm tại x là $y_x' = y_u'.u_x'$.

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tính: $\left( {\ln u\left( x \right)} \right)' = \frac{{u'\left( x \right)}}{{u\left( x \right)}}\left( {u\left( x \right) > 0} \right)$

Lời giải chi tiết:

$y' = {\left[ {\ln \left( {\cos x} \right)} \right]'} = \frac{{\left( {\cos x} \right)'}}{{\cos x}} = \frac{{ - \sin x}}{{\cos x}} = - \tan x$

Chọn B

Câu 8

Hàm số $f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}$ có đạo hàm tại $x = 1$ bằng

A. $f'\left( 1 \right) = {e^{\sqrt 5 }}$

B. $f'\left( 1 \right) = 2{e^{\sqrt 5 }}$

C. $f'\left( 1 \right) = \frac{{{e^{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt 5 }}$

D. $f'\left( 1 \right) = \frac{{{e^{\sqrt 5 }}}}{{2\sqrt 5 }}$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số $u = g\left( x \right)$ có đạo hàm tại x là $u_x'$ và hàm số $y = f\left( u \right)$ có đạo hàm tại u là $y_u'$ thì hàm hợp $y = f\left( {g\left( x \right)} \right)$ có đạo hàm tại x là $y_x' = y_u'.u_x'$.

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tính: $\left( {{e^{u\left( x \right)}}} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'{e^{u\left( x \right)}}$

Lời giải chi tiết:

$f'\left( x \right) = {\left( {{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}} \right)'} = \left( {\sqrt {{x^2} + 4} } \right)'.{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \frac{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}'}}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }}.{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \frac{{2x.{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }} = \frac{{x.{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}$

Do đó, $f'\left( 1 \right) = \frac{{1.{e^{\sqrt {{1^2} + 4} }}}}{{\sqrt {{1^2} + 4} }} = \frac{{{e^{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt 5 }}$

Chọn C