Giải bài 9.46 trang 111 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC . Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{B{\rm{D}}}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{AB + AC}}\), từ đó suy ra \(A{\rm{E}} = \frac{{AB.AC}}{{AB + AC}}\)

b) ΔDFC ∽ ΔABC 

c) DF=DB

Lời giải chi tiết

a) Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(DB.AC = DC.AB(*)\)

Ta có: \(B{{D}}.\left( {AB + AC} \right)\)\( = B{{D}}.AB + B{{D}}.AC\)

\(\begin{array}{l} = DB.AB + DC.AB\\ = AB.\left( {DB + DC} \right) = AB.BC\end{array}\)

Do đó \(B{{D}}.\left( {AB + AC} \right) = AB.BC\) suy ra \(\frac{{B{{D}}}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{AB + AC}}(1)\)

Xét \(\Delta CE{{D}}\) và \(\Delta CAB\) có:

\(\widehat C\,chung\)

\(\widehat A = \widehat E\)

nên $\Delta CE{D}\backsim \Delta CAB$ (g.g)

Suy ra \(\frac{{CE}}{{CA}} = \frac{{C{{D}}}}{{CB}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{AC - A{{E}}}}{{AC}} = \frac{{BC - B{{D}}}}{{BC}}\\1 - \frac{{A{{E}}}}{{AC}} = 1 - \frac{{DB}}{{BC}}\\\frac{{A{{E}}}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{BC}}(2)\end{array}\)

Từ (1), (2) suy ra: \(\frac{{A{{E}}}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AB + AC}}\) nên \(A{{E}} = \frac{{AB.AC}}{{AB + AC}}\)

b) Xét \(\Delta DFC\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat {FDC} = \widehat {BAC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat C\,chung\)

suy ra $\Delta DFC\backsim \Delta ABC$. (g.g)

c) Từ $\Delta DFC\backsim \Delta ABC$ suy ra \(\frac{{DF}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\)

nên \(DF = \frac{{AB.DC}}{{AC}}(3)\)

Từ (*) ta có: \(DB = \frac{{DC.AB}}{{AC}}(4)\)

Từ (3), (4) suy ra: DF = DB