Giải bài 9.16 trang 53 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Chứng minh rằng:

$\widehat {BIC} = {90^o} + \frac{{\widehat {BAC}}}{2};\widehat {CIA} = {90^o} + \frac{{\widehat {CBA}}}{2};\widehat {AIB} = {90^o} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2}$.

Lời giải chi tiết

Vì I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC nên $\widehat {IBC} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2};\widehat {ICB} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}$.

Tam giác ABC có:

$\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = {180^o}$ nên $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^o} - \widehat {BAC}$.

Do đó, $\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2} = {90^o} - \frac{{\widehat {BAC}}}{2}$.

Tam giác BIC có:

$\widehat {BIC} = {180^o} - \widehat {IBC} - \widehat {ICB} \\= {180^o} - {90^o} + \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = {90^o} + \frac{{\widehat {BAC}}}{2}.$

Chứng minh tương tự ta có:

$\widehat {CIA} = {90^o} + \frac{{\widehat {CBA}}}{2};$

$\widehat {AIB} = {90^o} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2}$.