Giải bài 8 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều

Đề bài

Cho hai đường tròn (O₁; R) và (O₂; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Tìm phép vị tự biến đường tròn (O₁; R) thành đường tròn $({O_2};{\rm{ }}2R).$

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Hai đường tròn (O₁; R) và (O₂; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và đường tròn tâm O₂ có bán kính gấp 2 lần đường tròn tâm O₁.

- Trên đường tròn $({O_1};{\rm{ }}R)$ lấy điểm B bất kì.

- Trên đường tròn $({O_2};{\rm{ }}2R)$ dựng đường kính CD // O_1­­B.

- BC cắt O₁O₂ tại E.

+) Ta có: O₁B // CO₂ nên theo định lí Thales có $\frac{{E{O_2}}}{{E{O_1}}} = \frac{{{O_2}C}}{{{O_1}B}} = \frac{{2R}}{R} = 2$.

Suy ra $\overrightarrow {E{O_2}} = 2\overrightarrow {E{O_1}}$ nên ta có phép vị tự tâm E, tỉ số 2 biến điểm O₁ thành điểm O₂.

Như vậy, phép vị tự tâm E, tỉ số 2 biến đường tròn $({O_1};{\rm{ }}R)$ thành đường tròn $({O_2};{\rm{ }}2R).$

+) Nối B với D, ta chứng minh được BD cắt O₁O₂ tại điểm tiếp xúc A của hai đường tròn.

Ta có: $\frac{{A{O_2}}}{{A{O_1}}} = \frac{{2R}}{R} = 2$ và A nằm giữa hai điểm O₁ và O₂ nên $\overrightarrow {A{O_2}} = - 2\overrightarrow {A{O_1}}$. Do đó, ta có phép vị tự tâm A, tỉ số – 2 biến điểm O₁ thành điểm O₂.

Như vậy, phép vị tự tâm A, tỉ số – 2 biến đường tròn (O₁; R) thành đường tròn $({O_2};{\rm{ }}2R)$.

Vậy có 2 phép vị tự biến đường tròn $({O_1};{\rm{ }}R)$ thành đường tròn $({O_2};{\rm{ }}2R)$.