Bài 78 trang 114 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $AHB$ có $\widehat H = 90^\circ ,\widehat A = 30^\circ$ và $BH = 4cm.$ Tia phân giác của góc $B$ cắt $AH$ tại $O.$ Vẽ đường tròn $(O; OH)$ và đường tròn $(O; OA).$

$a)$ Chứng minh đường tròn $(O; OH)$ tiếp xúc với cạnh $AB.$

$b)$ Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên.

Lời giải chi tiết

$a)$ Kẻ $OK \bot AB$ tại $K$ 

Vì $BO$ là đường phân giác của $\widehat B$ (gt)

$\Rightarrow OK = OH$ (tính chất đường phân giác)

Suy ra: $OK$ cũng là bán kính của đường tròn $(O;OH)$

Vậy đường tròn $(O; OH)$ tiếp xúc với $AB$ tại $K.$ 

$b)$ $\Delta AHB$ có $\widehat H = {90^0}$; $\widehat A = {30^0}$

Suy ra: $\widehat B = {60^0} \Rightarrow \widehat {ABO} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat B = {30^0}$

Suy ra: $∆OAB$ cân tại $O$ nên $OB = OA$

Vậy $B \in (O; OA)$

$∆BHO$ có $\widehat H = {90^0}$; $\widehat {OBH} = {30^0}$

$OH = BH.\tan {30^0}$$=\displaystyle 4.{{\sqrt 3 } \over 3} = {{4\sqrt 3 } \over 3}\;\;(cm)$

$OB = \displaystyle {{BH} \over {\cos \widehat {OBH}}}$$= \displaystyle {4 \over {\cos {{30}^0}}} = {4 \over \displaystyle {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {{8\sqrt 3 } \over 3}$ $(cm)$

Diện tích đường tròn nhỏ: $S_1=\displaystyle \pi {\left( {{{4\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {{16\pi } \over 3}$ $(cm^2)$

Diện tích đường tròn lớn: ${S_2} = \displaystyle \pi {\left( {{{8\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {{64\pi } \over 3}$ $(cm^2)$

Diện tích hình vành khăn:

$S={S_2} - {S_1} = \displaystyle {{64\pi } \over 3} - {{16\pi } \over 3}$$=\displaystyle {{48\pi } \over 3} = 16\pi$ $(cm^2)$

xemloigiai.com