Giải bài 7.51 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

 hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và $SC = a\sqrt 2$. Gọi H là trung điểm cạnh AB

a) Chứng minh rằng $SH \bot (ABCD)$

b) Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$

c) Tính theo $a$ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},HC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Suy ra $S{H^2} + H{C^2} = S{C^2}$

Do đó vuông tại H

Hay$SH \bot HC$ lại có $SH \bot AB$

Nên $SH \bot (ABCD)$

b) ta có $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},{S_{ABCD}} = {a^2}$

Suy ra ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SH = \frac{1}{3}.{a^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$

c) vì H là trung điểm của AB nên d(A, (SBD))=2.d(H,(SBD)). Kẻ HK vuông góc với BD tại K, HQ vuông góc với SK tại Q. Khi đó $HQ \bot (SBD)$ suy ra d(H,(SBD))=HQ

ta tính được $HK = \frac{{AC}}{4} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4},SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$ mà tam giác SHK vuông tại H, đường cao HQ nên $\frac{1}{{H{Q^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$ suy ra $HQ = \frac{{a\sqrt {21} }}{{24}}$, do đó d(A,(SBD))= $HQ = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$