Giải bài 7.34 trang 46 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình ${y^2} = 16x$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm F của $\left( P \right)$ và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng $\Delta$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt A, B, đồng thời tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi

Lời giải chi tiết

Gọi vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a;b} \right)$. Vì $\Delta$ đi qua điểm $F\left( {4;0} \right)$ và $\Delta$ không trùng với trục $Ox$ nên ta có $b \ne 0$. Phương trình tham số của $\Delta$:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + at\\y = 0 + bt = bt\end{array} \right.$

+ $\Delta \cap \left( P \right) \Rightarrow {\left( {bt} \right)^2} = 16\left( {4 + at} \right) \Rightarrow {b^2}{t^2} - 16at - 64 = 0$

+ Phương trình (1) có $\Delta ' = 64{a^2} + 64{b^2} > 0$ (do $b \ne 0$) suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $\Delta$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt A, B

+ Gọi $A\left( 4 + a{t_1};{ b{t _1}} \right),B\left( {4 + a{t_2};b{t_2}} \right)$ trong đó ${t_1},{t_2}$ là hai nghiệm của phương trình (1). Ta có: $d\left( {A,Ox} \right).d\left( {B,Ox} \right) = \frac{{\left| {b{t_1}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }}.\frac{{\left| {b{t_2}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \left| {{b^2}{t_1}{t_2}} \right|$

+ Theo định lí Vi-ét, ta có ${t_1}{t_2} = \frac{{ - 64}}{{{b^2}}} \Rightarrow d\left( {A,Ox} \right).d\left( {B,Ox} \right) = \left| {{b^2}.\frac{{ - 64}}{{{b^2}}}} \right| = 64$

$\Rightarrow$ Tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi